Уравнение Клейна — Гордона (иногда Клейна — Гордона — Фока, Клейна — Фока, Шрёдингера — Гордона) — релятивистская версия уравнения Шрёдингера:

${\displaystyle \partial _{x}^{2}\psi +\partial _{y}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi -{1 \over c^{2}}\partial _{t}^{2}\psi -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0}$,

или (с использованием единиц, где ${\displaystyle \hbar =c=1}$, ${\displaystyle \square \ }$ — оператор Д’Аламбера):

${\displaystyle (\square \ -m^{2})\psi =0}$.

Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (таких как поле Хиггса). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами. Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона — Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

• в одномерном случае — натянутая тяжёлая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
• макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, ещё и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
• более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона — Фока в координатах, лежащих в плоскости слоёв.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

Положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона — Фока гармонический осциллятор с частотой ${\displaystyle \pm mc^{2}/\hbar }$, что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой ${\displaystyle m}$ частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.