Бесконечно малая - Definition. Was ist Бесконечно малая
Diclib.com
Wörterbuch ChatGPT
Geben Sie ein Wort oder eine Phrase in einer beliebigen Sprache ein 👆
Sprache:

Übersetzung und Analyse von Wörtern durch künstliche Intelligenz ChatGPT

Auf dieser Seite erhalten Sie eine detaillierte Analyse eines Wortes oder einer Phrase mithilfe der besten heute verfügbaren Technologie der künstlichen Intelligenz:

  • wie das Wort verwendet wird
  • Häufigkeit der Nutzung
  • es wird häufiger in mündlicher oder schriftlicher Rede verwendet
  • Wortübersetzungsoptionen
  • Anwendungsbeispiele (mehrere Phrasen mit Übersetzung)
  • Etymologie

Was (wer) ist Бесконечно малая - definition

Гладкий анализ бесконечно малых

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ      
переменная величина, которая в процессе изменения становится (по абсолютной величине) и при дальнейшем изменении остается меньше любого наперед заданного положительного числа, т. е. имеет пределом нуль. В математическом анализе важную роль играют пределы отношений бесконечно малых величин (см. Дифференциальное исчисление) и пределы сумм бесконечно малых величин, когда число слагаемых неограниченно возрастает (см. Интегральное исчисление).
---
переменная величина, которая в процессе изменения становится (по абсолютной величине) и при дальнейшем изменении остается меньше любого наперед заданного положительного числа, т. е. имеет пределом нуль. В математическом анализе важную роль играют пределы отношений бесконечно малых величин (см. Дифференциальное исчисление) и пределы сумм бесконечно малых величин, когда число слагаемых неограниченно возрастает (см. Интегральное исчисление).
Бесконечно малая      

в математике, переменная величина, стремящаяся к Пределу, равному нулю. Для того чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при котором данная величина становится Б. м. Например, величина y = 1/x является Б. м. при аргументе х, стремящемся к бесконечности, а при х, стремящемся к нулю, она оказывается бесконечно большой (См. Бесконечно большая). Если предел переменной у конечен и равен а, то lim (y - a) = 0 и обратно. Поэтому понятие Б. м. величины можно положить в основу общего определения предела переменной величины. Теория Б. м. является одним из способов построения теории пределов.

При рассмотрении нескольких переменных величин, участвующих в одном и том же процессе изменения, переменные у и z называются эквивалентными, если limz/y = 1; если при этом у является Б. м., то у и z называются эквивалентными Б. м. Переменная z называется Б. м. относительно у, если z/y есть Б. м. Последний факт часто записывается в виде z = о (у) (читается: "z есть о малое от у"). Если при этом у является Б. м., то говорят, что z есть Б. м. более высокого порядка, чем у. Часто среди нескольких Б. м., участвующих в одном и том же процессе изменения, одна из них, скажем у, принимается за главную, и с ней сравниваются все остальные. Тогда говорят, что z есть Б. м. порядка k > 0, если предел lim z/ук существует и отличен от нуля; если же этот предел равен нулю, то z называется Б. м. порядка выше k. Изучение порядков различного рода Б. м. - одна из важных задач математического анализа.

Для случая, когда переменная величина есть функция аргумента х, из общего определения предела вытекает такое развёрнутое определение Б. м.: функция f (x), определённая в окрестности точки x0, называется Б. м. при х, стремящемся к x0, если для любого положительного числа ε найдётся такое положительное число δ, что для всех x x0, удовлетворяющих условию |x - x0| < δ, выполняется неравенство |f (x)| < ε. Этот факт записывается в виде

При изучении функции f (x) вблизи точки xo за главную Б. м. принимают приращение независимого переменного Δх = х - х0. Формула

Δy = f'(x0) Δx + о (Δх)

выражает, например, что приращение Δy дифференцируемой функции с точностью до Б. м. порядка выше первого совпадает с её дифференциалом dy = f ' (x0) Δx.

Метод Б. м., или (что то же) метод пределов, является в настоящее время основным методом обоснования математического анализа, почему его и называют также анализом Б. м. Он заменил Исчерпывания метод древних и "неделимых" метод (См. Неделимых метод). Метод Б. м. был намечен И. Ньютоном (1666) и получил всеобщее признание после работ О. Коши. При помощи Б. м. даются определения таких основных понятий анализа, как сходящийся ряд, интеграл, производная, дифференциал. Кроме того, метод Б. м. служит одним из основных методов приложения математики к задачам естествознания. Это связано с тем, что большинство закономерностей механики и классической физики выражается в виде формул, связывающих Б. м. приращения изучаемых величин, и обращение к Б. м. является обычным приёмом составления дифференциальных уравнений задачи.

Лит. см. при ст. Анализ математический.

С. Б. Стечкин.

Малая Яренга         
Малая Яренга — река в России, протекает по Усть-Вымскому району Республике Коми. Устье реки находится в 266 км по левому берегу реки Яренга.

Wikipedia

Гладкий инфинитезимальный анализ

Гладкий инфинитезимальный анализ — это математически строгое переформулирование анализа в терминах инфинитезималей. Будучи основанным на идеях Уильяма Ловера и используя методы теории категорий, он рассматривает все функции как непрерывные и невыражаемые через дискретные элементы. Как теория это раздел синтетической дифференциальной геометрии.

Нильпотентными инфинитезималями называют числа ε {\displaystyle \varepsilon } , удовлетворяющие условию ε 2 = 0 {\displaystyle \varepsilon ^{2}=0} ; при этом совсем не обязательно ε = 0. {\displaystyle \varepsilon =0.}

Этот подход отходит от классической логики, используемой в обычной математике, отказываясь от закона исключённого третьего, утверждающего, что из ¬ ( a b ) {\displaystyle \neg (a\neq b)} следует a = b . {\displaystyle a=b.} В частности, для некоторых инфинитезималей ε {\displaystyle \varepsilon } нельзя доказать ни ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} , ни ¬ ( ε = 0 ) {\displaystyle \neg (\varepsilon =0)} . То, что закон исключённого третьего не может выполняться, видно из следующей основной теоремы:

В гладком инфинитезимальном анализе любая функция, домен которой — R {\displaystyle \mathbb {R} } (вещественные числа, дополненные инфинитезималями), непрерывна и бесконечно дифференцируема.

Несмотря на это, можно попробовать определить разрывную функцию, например, как

f ( x ) = { 1 , x = 0 , 0 , x 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x=0,\\0,&x\neq 0.\end{cases}}}

Если бы закон исключённого третьего выполнялся, это было бы полностью определённой, разрывной функцией. Однако существует множество значений x {\displaystyle x} — инфинитезималей, — для которых не выполняется ни x = 0 {\displaystyle x=0} , ни x 0 {\displaystyle x\neq 0} , так что эта функция определена не на всём R {\displaystyle \mathbb {R} } .

В типичных моделях гладкого инфинитезимального анализа инфинитезимали не являются обратимыми, и следовательно, эти модели не содержат бесконечных чисел. Однако также существуют модели с обратимыми инфинитезималями.

Существуют также другие системы, включающие инфинитезимали, например нестандартный анализ и сюрреальные числа. Гладкий инфинитезимальный анализ похож на нестандартный анализ в том, что он разработан как основание анализа, и инфинитезимали не имеют конкретных величин (в противоположность сюрреальным числам, в которых типичный пример инфинитезималя — 1 / ω {\displaystyle 1/\omega } , где ω {\displaystyle \omega } — ординал фон Неймана). Однако гладкий инфинитезимальный анализ отличен от нестандартного анализа в том, что он использует неклассическую логику, и в том, что для него нарушается принцип переноса. Некоторые теоремы стандартного и нестандартного анализа ложны в гладком инфинитезимальном анализе, примерами служат теорема Больцано — Коши и парадокс Банаха — Тарского (последний доказуем в классической математике в рамках ZFC, но недоказуем в ZF). Утверждения на языке нестандартного анализа могут быть переведены в утверждения о пределах, но то же самое не всегда верно в гладком инфинитезимальном анализе.

Интуитивно гладкий инфинитезимальный анализ можно интерпретировать как описывающий мир, в котором линии состоят из бесконечно малых отрезков, а не из точек. Эти отрезки можно считать достаточно длинными, чтобы иметь определённое направление, но недостаточно длинными, чтобы искривляться. Конструирование разрывных функций не удаётся потому, что функция отождествляется с кривой, а кривую нельзя сконструировать поточечно. Можно представить, что теорема Больцано — Коши не выполняется из-за способности инфинитезимального отрезка «перекидываться» через разрыв. Аналогично, парадокс Банаха — Тарского не выполняется потому, что область нельзя разделить на точки.

Beispiele aus Textkorpus für Бесконечно малая
1. Но бесконечно малая". "Усидчивость - это тоже свойство таланта.
2. Для статистики это не интересно, это бесконечно малая величина.
3. Но ведь есть еще небытие политическое, когда человек, некогда игравший в политике заметную роль, продолжает потреблять кислород и даже порой имеет цветущий вид, но его политический вес - величина бесконечно малая, практически равная нулю.
4. "По сравнению с населением страны 103 000 человек - это бесконечно малая величина, они даже не попадут ни в какую репрезентативную выборку", - говорит завотделом уровня жизни "Левада-центра" Марина Красильникова.
5. Самое удивительное то, что в нашей стране богатых просто нет: из полутора тысяч принявших участие в опросе в больших доходах призналось "менее 1%". Это не просто меньше статистической погрешности, это настолько бесконечно малая величина, что она уже не может существовать в реальности.
Was ist БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ - Definition