раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления (См. Дифференциальное исчисление) и интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление), где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями "вперёд" для последовательности значений y₁= f (x₁), y₂ = f (x₂),..., y_k = f (x_k),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x₀,..., x_k,,... (x_k = х₀ + kh, h - постоянное, k - целое), называют выражения:

Δy_k ≡ Δf (x_k) = f (x_k+1) - f (x_k)

(разности 1-го порядка),

Δ²y_k ≡ Δ²f (x_k) = Δf (x_k+1)- Δf (x_k) = f (x_k+2)-2f (x_k+1) + f (x_k)

(разности 2-го порядка),

Δⁿy_k ≡ Δⁿf (x_k) = Δ^n-1f (x_k+1) - Δ^n-1f (x_k)

(разности n-го порядка).

Соответственно, конечные разности "назад" Δⁿy_к определяются равенствами

Δⁿy_к = Δⁿy_{к + n}.

При интерполяции (См. Интерполяция) часто пользуются т. н. центральными разностями δⁿy, которые вычисляются при нечётном n в точках х = x_i+¹l₂h, а при чётном n в точках х = x_i по формулам

δf (x_i + ¹/₂h) ≡ δy_i+1/2 = f (x_i+1) - f (x_i),

δ²f (x_i) ≡ δ²y_i = δy_i+1/2,

δ^2m-1f (x_i + ¹/₂h) ≡ δ^2т-1yi_+1/2 = δ^2т-2yi₊₁-δ^2т-2yi,

δ^2mf (x_i) ≡ δ^2ту_i = δ^2т-1yi_+1/2 - δ^2т-1yi_-1/2

Они дополняются средними арифметическими

,

,

где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают

.

Центральные разности δⁿy связаны с конечными разностями Δⁿy соотношениями

δ^2ту_i = Δ^2ту_i-m,

δ^2т+1yi_+1/2 = Δ^2m+1y_i-m

Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. x_k+1 - x_k не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

........................................................

.

Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Δⁿy_k = f ⁽ⁿ⁾(), где x_k≤≤x_k+n. Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Например, для приближённого решения (См. Приближённое решение)дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).

Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида

F [x,(f (x),...,Δⁿf (x)] = 0 (1)

задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде

Ф [х, f (x), f (x₁),..., f (x_n)] = 0,

выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

f (x+n) + a₁f (x+n-1) +... + a_nf (x) = 0,

где a₁,..., a_n - постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни λ₁, λ₂,... λ_n его характеристического уравнения

λⁿ + a₁λ^n-1+...+a_n = 0.

Тогда общее решение данного уравнения представится в виде

f (x) = С₁λ₁^х + C₂λ₂^x +... + C_nλ_n^x,

где C₁, C₂,..., C_n - произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел λ₁, λ₂,..., λ_n нет равных).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1-2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.

Под редакцией Н. С. Бахвалова.

Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово "конечные" используется здесь в несколько устаревшем смысле "не бесконечно малые", т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей - самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве). Например, термостату требуется значительное время, чтобы отреагировать на изменение температуры, поэтому он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад. Другой пример: автомашиной управляет водитель, которому требуется какое-то время, чтобы отреагировать на возникшую на дороге ситуацию.

Под конечной разностью первого порядка функции f (x) принято понимать величину

где d - некоторая постоянная, которую часто, но не всегда, принимают равной 1. Разность второго порядка обозначается ?2f и представляет собой разность разностей, т.е.

Продолжив этот процесс, мы получим разности более высоких порядков ?3f (x), ?4f (x), ??.

Данные выше определения можно также применить к членам любых последовательностей величин, например, к последовательности

3, 6, 11, 18, 27, 38, ??

Первые разности равны

6 - 3, 11 - 6, 18 - 11, 27 - 18, 38 - 27, ?,

т.е.

3, 5, 7, 9, 11, ?;

разности второго порядка постоянны и равны 2.

В общем виде такие последовательности можно записать как

где разности первого, второго и т.д. порядков определяются выражениями

а n может принимать любое допустимое для индекса значение.

В некоторых приложениях используются последовательности вида

где индексы могут принимать любые убывающие значения. В этом случае вместо символа . используется символ "разделенной разности". Разделенные разности первого и второго порядков определяются следующим образом:

Помимо уже названных выше приложений, исчисление конечных разностей используется в страховании, теории вероятностей и статистике. В последние годы с изобретением быстродействующих компьютеров конечные разности стали все более широко применяться при решении дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, многие из которых ранее было невозможно решить другими математическими методами.

У истоков теории. Хотя исследование свойств и использование конечных разностей приходится на современный период развития математики, Птолемей (ок. 150 н.э.) ввел в Альмагесте таблицу разностей первого порядка, чтобы облегчить расчеты в таблице длин хорд. Разности второго порядка использовал при вычислении своих таблиц логарифмов в 1624 Г.Бриггс. Теория интерполяции берет начало со знаменитой пятой леммы из 3-й книги Математических начал (1687) И.Ньютона, в которой впервые была приведена формула, носящая ныне его имя. Частный случай формулы Ньютона, открытый также независимо его современником Дж.Грегори (1638-1675), приведен ниже (см. формулу (7)). В общей формуле интерполяции Ньютона использовались разделенные разности, хотя этот термин, по-видимому, был введен О.де Морганом (1806-1871) в 1848. Первое применение исчисления конечных разностей к задачам теории вероятностей принято связывать с именами П.де Монтмора (1678-1719) и А.де Муавра (1667-1754).

Хотя Л.Эйлер (1707-1783) в своих работах по дифференциальному исчислению использовал предельные переходы в конечных разностях, основания современной теории конечных разностей были заложены в основном Ж.Лагранжем (1736-1813) и П.Лапласом (1749-1827). Первый из них ввел в исчисление конечных разностей символические методы, второй сделал конечные разности главным инструментом в своей Аналитической теории вероятностей (1812).

Под влиянием этих работ математики 19 в. принялись интенсивно разрабатывать предмет, и в 1860 Дж.Буль выпустил свой классический Трактат об исчислении конечных разностей. С тех пор это исчисление и круг его приложений существенно расширились. Одно из наиболее важных приложений конечные разности нашли в статистике. Особенно полезными они оказались в теории сериальной корреляции, в анализе случайных последовательностей и статистических временных рядов.