одно из важнейших математических понятий, встречающееся в двух основных концепциях - Н. множества и Н. отображения. Исторически раньше подверглось математической обработке понятие непрерывного отображения, или непрерывной функции (См.
Непрерывная функция)
, чем логически предшествующее ему понятие "Н. множества". Понятие непрерывной действительной функции обобщается на произвольные отображения так: однозначное
Отображение у =
f (
x) некоторого множества
Х элементов
х на множество
Y элементов
у называется непрерывным, если из сходимости последовательности
x1, x2,..., xn,... элементов множества
Х к элементу
х следует сходимость их образов
f (
x1)
, f (
x2)
,...,
f (
xn)
,... к образу
f (
x) предельного элемента
х (о других обобщениях того же понятия см. в ст.
Топология)
. Т. о., определение Н. отображения зависит от того, как в самих множествах
Х и
Y определены предельные соотношения (в нашем случае сходимость последовательностей). Множество элементов с определёнными предельными соотношениями между ними называется в современной математике топологическим пространством (См.
Топологическое пространство)
. В терминах теории топологических пространств в настоящее время обычно и излагаются понятия, характеризующие свойства Н. различных множеств математических объектов. Об этих понятиях см. в ст.
Континуум.
Лит.: Дедекинд Р., Непрерывность и иррациональные числа, пер. с нем., 4 изд., Одесса, 1923; Кантор Г., Основы общего учения о многообразиях, [пер. с нем.], в кн.: Теория ассамблей. 1, СПБ, 1914 (Новые идеи в математике, сб. 6); Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М. - Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. - Л., 1937; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948.