Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}}$. Они могут быть явным образом представлены как

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k},}$

где ${\displaystyle \Gamma (s)}$ — гамма-функция, а ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ обозначает целую часть числа n/2.

Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва и являются частным случаем многочленов Якоби. Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы ${\displaystyle SO(n)}$. Они названы в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).