Na matemática, a curvatura média ${\displaystyle H}$ de uma superfície ${\displaystyle S}$ é uma medida extrínseca da curvatura que vem da geometria diferencial e descreve localmente a curvatura de uma superfície incorporada em algum ambiente espacial, como o espaço euclidiano .

O conceito foi usado por Sophie Germain em seu trabalho sobre a teoria da elasticidade . Jean Baptiste Marie Meusnier o usou em 1776, em seus estudos sobre superfícies mínimas . É importante na análise de superfícies mínimas, que possuem curvatura média zero, e na análise de interfaces físicas entre fluidos (como filmes de sabão ) que, por exemplo, apresentam curvatura média constante em fluxos estáticos, pela equação de Young-Laplace .

Deixe ${\displaystyle p}$ ser um ponto na superfície ${\displaystyle S}$ . Cada plano através de ${\displaystyle p}$ contendo a linha normal para ${\displaystyle S}$ corta ${\displaystyle S}$ em uma curva (plana). Fixando uma opção de unidade normal fornece uma curvatura específica para essa curva. Como o plano é rotacionado por um ângulo ${\displaystyle \theta }$ (sempre contendo a linha normal), a curvatura pode variar. A curvatura máxima ${\displaystyle \kappa _{1}}$ e a curvatura mínima ${\displaystyle \kappa _{2}}$ são conhecidas como as curvaturas principais de ${\displaystyle S}$ .

A curvatura média em ${\displaystyle p\in S}$ é então a média das curvaturas específicas por todos os ângulos ${\displaystyle \theta }$ :

${\displaystyle H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\;d\theta }$ .

Aplicando o teorema de Euler, vemos que isso é igual à média das curvaturas principais (Spivak 1999, Volume 3, Chapter 2)  :

${\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).}$

De maneira mais geral (Spivak 1999, Volume 4, Chapter 7) , para uma Hípersuperfície ${\displaystyle T}$ a curvatura média é dada como

${\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.}$

Mais abstratamente, a curvatura média é o traço da segunda forma fundamental dividida por n (ou equivalente, o operador de forma ).

Além disso, a curvatura média ${\displaystyle H}$ pode ser escrita em termos do derivada covariante ${\displaystyle \nabla }$ como

${\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,}$

usando as relações de Gauss-Weingarten, onde ${\displaystyle X(x)}$ é uma hipersuperfície suavemente incorporada, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ um vetor normal unitário e ${\displaystyle g_{ij}}$ o tensor métrico .

Uma superfície é uma superfície mínima se e somente se a curvatura média for zero. Além disso, uma superfície que se desenvolve sob a curvatura média da superfície ${\displaystyle S}$, diz-se que obedece a uma equação do tipo calor chamada equação de fluxo de curvatura média .

A esfera é a única superfície incorporada de curvatura média positiva constante, sem limites ou singularidades. No entanto, o resultado não é verdadeiro quando a condição "superfície incorporada" é enfraquecida para "superfície imersa".