Εισάγετε μια λέξη ή φράση σε οποιαδήποτε γλώσσα 👆
Γλώσσα:
Μετάφραση και ανάλυση λέξεων από την τεχνητή νοημοσύνη ChatGPT
Σε αυτήν τη σελίδα μπορείτε να λάβετε μια λεπτομερή ανάλυση μιας λέξης ή μιας φράσης, η οποία δημιουργήθηκε χρησιμοποιώντας το ChatGPT, την καλύτερη τεχνολογία τεχνητής νοημοσύνης μέχρι σήμερα:
- πώς χρησιμοποιείται η λέξη
- συχνότητα χρήσης
- χρησιμοποιείται πιο συχνά στον προφορικό ή γραπτό λόγο
- επιλογές μετάφρασης λέξεων
- παραδείγματα χρήσης (πολλές φράσεις με μετάφραση)
- ετυμολογία
Τι (ποιος) είναι ЦЕПНАЯ ДРОБЬ - ορισμός
ДРОБЬ С ДРОБНЫМ ЗНАМЕНАТЕЛЕМ
Цепная дробь; Подходящие дроби; Подходящая дробь; Непрерывные дроби; Цепные дроби; Формула Браункера
![золотого сечения]]](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Golden ration convergents.svg?width=200 "золотого сечения]]")
Цепная дробь
см. Непрерывная дробь.
ЦЕПНАЯ ДРОБЬ
то же, что непрерывная дробь.
Непрерывная дробь
цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Н. д. есть выражение вида
где a0 - любое целое число, a1, a2,..., an,... - натуральные числа, называемые неполными частными, или элементами, данной Н. д. К Н. д., изображающей некоторое число α, можно прийти, записывая это число в виде
где a0 - целое число и 0 < 1/α1 < 1, затем, записывая в таком же виде α1 и т. д. Число элементов Н. д. может быть конечным или бесконечным; в зависимости от этого Н. д. называют конечной или бесконечной. Н. д. (1) часто символически обозначают так:
[а0; a1, a2,..., an,...] (бесконечная Н. д.) (2)
или
[а0; а1, a2,..., an] (конечная Н. д.). (3)
Конечная Н. д. всегда представляет собой рациональное число; обратно, каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной Н. д. (3); такое представление единственно, если потребовать, чтобы an ≠ 1. Н. д. [а0; a1, a2,..., ak] (k ≤ n), записанную в виде несократимой дроби pk/qk, называют подходящей дробью порядка k данной Н. д. (2). Числители и знаменатели подходящих дробей связаны рекуррентными формулами:
pk+1 = ak+1pk + pk-1, qk+1 = ak+1qk + qk-1,
которые служат основанием всей теории Н. д. Из этих формул непосредственно вытекает важное соотношение
pkqk-1 - qkpk-1 = ± 1.
Для каждой бесконечной Н. д. существует предел
называемый значением данной Н. д. Каждое иррациональное число является значением единственной бесконечной Н. д., получаемой разложением α указанным выше образом, например
(е - 1)/2 = [0, 1,6, 10,14, 18,...];
квадратичные иррациональности разлагаются в периодические Н. д.
Основное значение Н. д. для приложений заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями числа α, то есть, что для любой другой дроби m/n, знаменатель которой не более gk имеет место неравенство |nα - m| > |gkα - pkl; при этом |qk. - pk| < 1/qk+1. Нечётные подходящие дроби больше α, а чётные - меньше. При возрастании k нечётные подходящие дроби убывают, а чётные возрастают.
Н. д. используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Например, известные приближения 22/7, 355/113 для числа π (отношения длины окружности к диаметру) суть подходящие дроби для разложения π в Н. д. Следует отметить, что первое доказательство иррациональности чисел е и π было дано в 1766 немецким математиком И. Ламбертом с помощью Н. д. Французский математик Ж. Лиувилль доказал: для любого алгебраического числа (См. Алгебраическое число) α степени n можно найти такую постоянную λ, что для любой дроби x/y выполняется неравенство |α - x/y| > λ/уn. С помощью Н. д. можно построить числа α такие, что разность |α - pk/qk| делается меньше α/gk, какую бы постоянную λ мы ни взяли. Так, используя Н. д., можно строить трансцендентные числа. Недостатком Н. д. является чрезвычайная трудность арифметических действий над ними, равносильная практической невозможности этих действий; например, зная элементы двух дробей, мы не можем сколько-нибудь просто получить элементы их суммы или произведения.
Н. д. встречаются уже в 16 в. у Р. Бомбелли. В 17 в. Н. д. изучал Дж. Валлис; ряд важных свойств Н. д. открыл Х. Гюйгенс, занимавшийся ими в связи с теорией зубчатых колёс. Многое сделал для теории Н. д. Л. Эйлер в 18 в.
В 19 в. П. Л. Чебышев, А. А. Марков и др. применили Н. д., элементами которых являются многочлены, к изучению ортогональных многочленов (См. Ортогональные многочлены).
Лит.: Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, 2 изд., т. 1, М. - Л., 1946; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 2 изд., М. - Л., 1949; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, пер. с лат., т. 1, М. - Л., 1936; Стилтьес Т. И., Исследования о непрерывных дробях, пер. с франц., Хар. - К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl., Lpz. - B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto - N. Y. - L., 1948.
Βικιπαίδεια
Непрерывная дробь
Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида
где есть целое число, а все остальные — натуральные числа (положительные целые). При этом числа называются неполными частными или элементами цепной дроби.
Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально.
Главное (но далеко не единственное) назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике, а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики. Используются также в физике, небесной механике, технике и других прикладных сферах деятельности.
