Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма, описывающая поведение функции во втором порядке.

Для функции ${\displaystyle f}$, дважды дифференцируемой в точке ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}$

или

${\displaystyle H(z)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}z_{i}{\overline {z}}_{j}}$

где ${\displaystyle a_{ij}=\partial ^{2}f/\partial x_{i}\partial x_{j}}$ (или ${\displaystyle a_{ij}=\partial ^{2}f/\partial z_{i}\partial {\overline {z}}_{j}}$) и функция ${\displaystyle f}$ задана на ${\displaystyle n}$-мерном вещественном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (или комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) с координатами ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ (или ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$). В обоих случаях гессиан — квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не меняющаяся при линейных преобразованиях переменных. Гессианом также часто называют и определитель матрицы ${\displaystyle (a_{ij}),}$ см. ниже.