Алгебраическая функция - meaning and definition. What is Алгебраическая функция
Diclib.com
ChatGPT AI Dictionary
Enter a word or phrase in any language 👆
Language:

Translation and analysis of words by ChatGPT artificial intelligence

On this page you can get a detailed analysis of a word or phrase, produced by the best artificial intelligence technology to date:

  • how the word is used
  • frequency of use
  • it is used more often in oral or written speech
  • word translation options
  • usage examples (several phrases with translation)
  • etymology

What (who) is Алгебраическая функция - definition


Алгебраическая функция         

функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению (См. Алгебраическое уравнение). А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например,

называются рациональными, а прочие А. ф. - иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [например,

Однако существуют А. ф., которые невозможно выразить через радикалы [например, функция у = f (х), удовлетворяющая уравнению: y5 + 3ух4 + x5 = 0]. Примерами неалгебраических, т. н. трансцендентных функций (См. Трансцендентные функции), встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная xα (если α - иррациональное число), показательная ах, логарифмическая и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (См. Аналитические функции) (А. ф. составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией (См. Алгебраическая геометрия). Самая общая А. ф. многих переменных u = f(x, у, z, ...) определяется как функция, удовлетворяющая уравнению вида:

Ðî(õ, ó, z, ...)un + P1(x, y, z, ...)un-1 + ... +Pn(x, y, z, ...) = 0, (1)

где Р0, Р1, ..., Pn - какие-либо многочлены относительно х, у, z,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х, у, z,... и n. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P0 можно считать не равным тождественно нулю. Если n = 1, то u представляет рациональную функцию (u = -P1/P0), частным случаем которой - целой рациональной функцией - является многочлен (если P0 = const ≠ 0). При n > 1 получается иррациональная функция; если n = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n = 3 или n = 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни.

При n ≥ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитической функцией переменных х, у, z,...

Лит.: Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. - Л., 1948.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ         
функция, связанная с независимым переменным алгебраическим уравнением.
Алгебраическая функция         
Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Wikipedia

Алгебраическая функция

Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция F ( x 1 , x 2 , , x n ) {\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} называется алгебраической в точке A = ( a 1 , a 2 , , a n ) {\displaystyle A=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})} , если существует окрестность точки A {\displaystyle A} , в которой верно тождество

P ( F ( x 1 , x 2 , , x n ) , x 1 , x 2 , , x n ) = 0. {\displaystyle P(F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0.}

где P {\displaystyle P} есть многочлен от n + 1 {\displaystyle n+1} переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного F ( x ) = 1 x 2 {\displaystyle F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}} является алгебраической на интервале ( 1 , 1 ) {\displaystyle (-1,1)} в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

F 2 + x 2 = 1. {\displaystyle F^{2}+x^{2}=1.}

Существует аналитическое продолжение функции F ( x ) = 1 x 2 {\displaystyle F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}} на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком [ 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} или с двумя вырезанными лучами ( , 1 ] {\displaystyle (-\infty ,-1]} и [ 1 , ) {\displaystyle [1,\infty )} . В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.