Diclib.com
ChatGPT AI Dictionary

Dictionary Lookup Custom Solutions

Enter a word or phrase in any language 👆

Language:

Translation and analysis of words by ChatGPT artificial intelligence

On this page you can get a detailed analysis of a word or phrase, produced by the best artificial intelligence technology to date:

how the word is used
frequency of use
it is used more often in oral or written speech
word translation options
usage examples (several phrases with translation)
etymology

What (who) is Линейное уравнение - definition

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ВИДА AX + B = 0

$График функции для рассматриваемого уравнения <math>3 \cdot x + 4 \cdot y = 12</math>$

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ

алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax?b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных уравнений. Теория линейных уравнений получила развитие после возникновения учения об определителях и матриц. Понятие линейности переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (напр., линейное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т. е. в 1-й степени).

Линейное уравнение

уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют набор чисел c₁, c₂, ..., c_n, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).

Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Л. у. с одним неизвестным имеет вид:

ax = b;

решением его при а ≠ 0 будет число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:

(1)

где a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂, b₁, b₂- какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:

,

;

здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель

отличен от нуля. В числителях стоят определители, получающиеся из D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов b₁, b₂; в выражении для первого неизвестного x₁ заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного x₂ - второй.

Аналогичное правило применимо и при решении любой системы и Л. у. с n неизвестными, т. е. системы вида:

(2)

здесь a_ij и b_i (i, j = 1, 2, ..., n) - произвольные числовые коэффициенты; числа b₁, b₂, ..., b_n называют обычно свободными членами. Если определитель D = ∣a_ij∣ системы (2), составленный из коэффициентов a_ij при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: k-e (k = 1, 2, ..., n) неизвестное x_k равно дроби, в знаменателе которой стоит определитель D, а в числителе - определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (к-го столбца) столбцом свободных членов b₁, b₂, ..., b_n. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.

Если все b_i = 0 (систему Л. у. называют в этом случае однородной), то при D ≠ 0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все x_k = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы Л. у. с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:

(3)

Решение такой системы неоднозначно; из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:

x₁ : x₂ : ... : x_n = D₁ : D₂ : ... : D_n,

где D_n - умноженный на ( - 1)^k определитель, полученный из матрицы (См. Матрица) коэффициентов a_ij системы (3) вычёркиванием какого-то столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей D_i отличен от 0).

Впервые решение систем (2) было получено Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носит до сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем Л. у. было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.

Общая система m Л. у. с n неизвестными имеет вид:

(4)

Вопрос о совместности системы Л. у. (4), т. е. вопрос о существовании решения, решается сравнением рангов матриц

и

Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В больше ранга матрицы Л, то система несовместна (теорема Кронекера - Капелли). В случае совместности системы, её решения можно найти следующим образом. Найдя в матрице А отличный от нуля Минор наибольшего порядка г, отбрасывают m - r уравнений, коэффициенты которых не вошли в этот минор (отбрасываемые уравнения будут следствиями оставшихся, и поэтому их можно не рассматривать); в оставшихся уравнениях переносят направо те неизвестные, коэффициенты которых не вошли в выбранный минор (свободные неизвестные). Придав свободным неизвестным любые числовые значения, получают систему из r уравнений с r неизвестными, которую можно решить по правилу Крамера. Найденные значения r неизвестных вместе со значениями свободных неизвестных дадут некоторое частное (т. е. одно из многих возможных) решение системы (4). Можно, не давая свободным неизвестным конкретных значений, непосредственно выразить через них остальные неизвестные. Так получается общее решение, т. е. решение, в котором неизвестные выражены через параметры; давая этим параметрам произвольные значения, можно получить все частные решения системы.

Однородные системы Л. у. можно решать таким же способом. Решения их обладают тем свойством, что сумма, разность и вообще любая линейная комбинация решений (рассматриваемых как n-мерные векторы) также будет решением системы. Другими словами: совокупность всех решений однородной системы Л. у. образует линейное подпространство n-мерного векторного пространства. Систему решений, которые сами линейно независимы и позволяют выразить любое другое решение в виде их линейной комбинации (т. е. базис линейного подпространства), называют фундаментальной системой решений однородной системы Л. у.

Между решениями системы Л. у. (4) и соответствующей однородной системы Л. у. (т. е. уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, но со свободными членами, равными нулю) существует простая связь: общее решение неоднородной системы получается из общего решения однородной системы прибавлением к нему какого-либо частного решения неоднородной системы Л. у.

Большой наглядности изложения в теории Л. у. можно добиться, используя геометрический язык. Привлекая при этом к рассмотрению линейные операторы (См. Линейный оператор) в векторных пространствах (рассматривая уравнения вида Ax = b, А - линейный оператор, х и b - векторы), легко установить связь рассматриваемых алгебраических Л. у. с Л. у. в бесконечномерных пространствах (системы Л. у. с бесконечным числом неизвестных), в частности с Л. у. в функциональных пространствах, например Линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения (см. Интегральные уравнения) и др.

Применение правила Крамера при практическом решении большого числа Л. у. может встретить значительные трудности, т. к. нахождение определителей высокого порядка связано со слишком большими вычислениями. Были поэтому разработаны различные методы численного (приближённого) решения систем Л. у. (см. Численное решение уравнений).

Лит.: Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. - Л., 1951; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М. - Л., 1963.

Линейное уравнение

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_уравнение

Wikipedia

Линейное уравнение

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить:

в общей форме: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0$ ;
в канонической форме: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=-b$ ,

где $x_{1},\ldots ,x_{n}$ — это переменные (или неизвестные) величины (также известные как корни линейного уравнения), а $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ — постоянные или коэффициенты, которые являются действительными числами. Коэффициенты могут квалифицироваться как параметры при уравнении и могут быть любыми выражениями при условии, что сами по себе не содержат переменных. Чтобы уравнение имело смысл, коэффициенты $a_{1},\ldots ,a_{n}$ не должны равняться нулю. Также линейное уравнение можно получить, если приравнять линейный многочлен к нулю над некоторым полем, откуда для многочлена берутся коэффициенты.

Решение уравнения — это нахождение таких значений переменных, которые при подстановке дали бы верное равенство. Если переменная всего одна, то для линейного уравнения существует только одно решение (при условии, что $a_{1}\neq 0$ ). Часто «линейным уравнением» называют именно подобные уравнения с одной «неизвестной». Если переменных две, то любое решение может быть проиллюстрировано и проверено с помощью прямоугольной системы координат в двумерном (евклидовом) пространстве. Решение одного линейного уравнения изображается как вертикальная прямая в прямоугольной системе координат для данного уравнения, но эта же прямая может быть иллюстрацией решения и другого уравнения. Каждая линия может рассматриваться как множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными, поэтому подобные уравнения и называются линейными. В общем, множество решений линейного уравнения с n переменными образуют гиперплоскость (подпространство размерности n-1) в евклидовом пространстве с размерностью n.

Линейные уравнения применяются абсолютно во всех сферах математики и их приложениях в физике и инженерном деле отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо можно «приблизить» и упростить линейными уравнениями. Совокупность в виде двух и более линейных уравнений, для которой надо найти конкретное решение, является системой линейных алгебраических уравнений.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное уравнение

What is ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ - meaning and definition