Enter a word or phrase in any language 👆
Language:
Translation and analysis of words by ChatGPT artificial intelligence
On this page you can get a detailed analysis of a word or phrase, produced by the best artificial intelligence technology to date:
- how the word is used
- frequency of use
- it is used more often in oral or written speech
- word translation options
- usage examples (several phrases with translation)
- etymology
What (who) is Приближение и интерполирование функций - definition
НОВОДЖАЗОВЫЙ ПРОЕКТ
Трио «Второе приближение»; Второе приближение (трио)
Приближение и интерполирование функций
раздел теории функций, посвященный изучению вопросов приближённого представления функций.
Приближение функций - нахождение для данной функции f функции g из некоторого определённого класса (например, среди алгебраических многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к f, дающей её приближённое представление. Существует много разных вариантов задачи о приближении функций в зависимости от того, какие функции используются для приближения, как ищется приближающая функция g, как понимается близость функций f и g. Интерполирование функций - частный случай задачи приближения, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции f и приближающей её функции g, а в более общем случае - и значения некоторых их производных.
Для оценки близости исходной функции f и приближающей её функции g используются в зависимости от рассматриваемой задачи метрики (См. Метрика) различных функциональных пространств. Обычно это метрики пространств непрерывных функций С и функций, интегрируемых с р-й степенью, Lp, р ≥ 1, в которых расстояние между функциями f и g определяется (для функций, заданных на отрезке [а, b]) по формулам
и
Наиболее часто встречающейся и хорошо изученной является задача о приближении функций полиномами, т. е. выражениями вида
где (φ1,..., φn-заданные функции, a a1,..., an - произвольные числа. Обычно это алгебраические многочлены
или тригонометрические полиномы
а0 + 
(ak coskx + bk sinkx).
Рассматриваются также полиномы по ортогональным многочленам (См. Ортогональные многочлены), по собственным функциям краевых задач и т.п. Другим классическим средством приближения являются рациональные дроби P (x)/Q (x), где в качестве Р и Q берутся алгебраические многочлены заданной степени.
В последнее время (60-70-е гг. 20 в.) значительное развитие получило приближение т. н. сплайн-функциями (сплайнами). Характерным их примером являются кубические сплайн-функции, определяемые следующим образом. Отрезок [a, b] разбивается точками a = x0 < x1 <... < xn = b, на каждом отрезке [xk, xk+1] кубическая сплайн-функция является алгебраическим многочленом третьей степени, причём эти многочлены подобраны так, что на всём отрезке [а, b] непрерывны сама сплайн-функция и её первая и вторая производные. Оставшиеся свободными параметры могут быть использованы, например, для того чтобы сплайн-функция интерполировала в узлах xk приближаемую функцию. Улучшение приближения достигается за счёт увеличения числа узлов xk правильного их расположения на отрезке [а, b]. Сплайн-функции оказались удобными в вычислительной математике, с их помощью удалось решить также некоторые задачи теории функций.
Приближённые представления функций, а также сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближений функций (употребляются также названия теория аппроксимации функций и конструктивная теория функций). К теории приближений функций обычно относят также задачи о приближении элементов в банаховых и общих метрических пространствах.
Теория приближений функций берёт начало от работ П. Л. Чебышева. Он ввёл одно из основных понятий теории - понятие наилучшего приближения функции полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции f (x) полиномами 
akφk (x) в метрике С называется величина
En(f)c = min || f - 
akφk (x)||c,
где минимум берётся по всем числам а1,..., an. Полином, для которого достигается этот минимум, называется полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны). Чебышев установил, что наилучшее приближение функции xn+1 на отрезке [-1, 1] в метрике С алгебраическими многочленами степени n равно 1/2n, а многочлен наилучшего приближения таков, что для него
xn+1 - 
= (1/2n) cos (n + 1) arccosx.
Следующая теорема Чебышева указывает характеристическое свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраический многочлен 
, в том и только в том случае является многочленом наилучшего приближения непрерывной функции f в метрике С [-1, 1], если существуют n + 2 точки -1 ≤ x1 < x2 <... < xn+2 ≤ 1, в которых разность f (x) - 2
принимает максимальное значение своего модуля с последовательно чередующимися знаками.
Одним из первых результатов теории приближений является также теорема Вейерштрасса, согласно которой каждую непрерывную функцию можно приблизить в метрике С как угодно хорошо алгебраическими многочленами достаточно высокой степени.
С начала 20 в. началось систематическое исследование поведения при n → ∞ последовательности En(f) - наилучших приближений функции f алгебраическими (или тригонометрическими) многочленами. С одной стороны, выясняется скорость стремления к нулю величин En(f) в зависимости от свойств функции (т. н. прямые теоремы теории приближений), а с другой - изучаются свойства функции по последовательности её наилучших приближений (обратные теоремы теории приближений). В ряде важных случаев здесь получена полная характеристика свойств функций. Приведём две такие теоремы.
Для того чтобы функция f была аналитической на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным рядом, равномерно сходящимся к ней в некоторой окрестности этой точки), необходимо и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраическими многочленами выполнялась оценка
En(f)c ≤ Aq n,
где q < 1 и А - некоторые положительные числа, не зависящие от n (теорема С. Н. Бернштейна).
Для того чтобы функция f периода 2π имела производную порядка r, r = 0, 1,2,..., удовлетворяющую условию
|f (r)(x + h) - f (r)(x)| ≤ M|h|α,
0 < α < 1, М - некоторое положительное число, или условию
|f (r)(x + h) - 2f (r)(x) + f (r)(x - h)| ≤ M|h|α
(в этом случае α = 1), необходимо и достаточно, чтобы для наилучших приближений функции f тригонометрическими полиномами была справедлива оценка
Еп (f)c ≤ А/n r+α,
где А - некоторое положительное число, не зависящее от n. В этом утверждении прямая теорема была в основном получена Д. Джексоном (США), а обратная является результатом исследований С. Н. Бернштейна, Ш. Ж. Ла Валле Пуссена и А. Зигмунда (США). Характеристика подобных классов функций, заданных на отрезке, в терминах наилучших приближении алгебраическими многочленами оказалась невозможной. Её удалось получить, привлекая к рассмотрению приближение функций с улучшением порядка приближения вблизи концов отрезка.
Возможность характеризовать классы функций с помощью приближений их полиномами нашла приложение в ряде вопросов математического анализа. Развивая исследования по наилучшим приближениям функций многих переменных полиномами, С. М. Никольский построил теорию вложений важных для анализа классов дифференцируемых функций многих переменных, в которой имеют место не только прямые, но и полностью обращающие их обратные теоремы.
Для приближений в метрике L2 полином наилучшего приближения может быть легко построен. Для других пространств нахождение полиномов наилучшего приближения является трудной задачей и её удаётся решить только в отдельных случаях. Это привело к разработке разного рода алгоритмов для приближённого нахождения полиномов наилучшего приближения.
Трудность нахождения полиномов наилучшего приближения отчасти объясняется тем, что оператор, сопоставляющий каждой функции её полином наилучшего приближения, не является линейным: полином наилучшего приближения для суммы f + g не обязательно равен сумме полиномов наилучшего приближения функций f и g. Поэтому возникла задача изучения (по возможности простых) линейных операторов, сопоставляющих каждой функции полином, дающий хорошее приближение. Например, для периодической функции f (x) можно брать частные суммы её ряда Фурье Sn (f, х). При этом справедлива оценка (теорема А. Лебега)
||f - Sn (f)||c ≤ (Ln + 1) En(f)c,
где Ln - числа, растущие при n → ∞ как (4/π2) lnn. Они получили название констант Лебега. Эта оценка показывает, что полиномы Sn(f) доставляют приближение, не очень сильно отличающееся от наилучшего. Подобная оценка имеет место и для приближений интерполяционными тригонометрическими полиномами с равноотстоящими узлами интерполирования, а также для приближений интерполяционными алгебраическими многочленами на отрезке [-1, 1] с узлами 
, k = 1, 2,..., n, т. е. в нулях полинома Чебышева cosn arccosx. Для основных встречающихся в анализе классов функций известны такие линейные операторы, построенные с помощью рядов Фурье или на основе интерполяционных полиномов, что значениями этих операторов являются полиномы, дающие на классе тот же порядок убывания приближений при n → ∞, что и наилучшие приближения.
А. Н. Колмогоров начал изучение нового вопроса теории приближений - задачи о нахождении при фиксированном n такой системы функций φ1,..., φn, для которой наилучшие приближения функций заданного класса полиномами 
были бы наименьшими (т. н. задача о поперечнике класса функций). В этом направлении в дальнейшем было выяснено, например, что для ряда важных классов периодических функций наилучшими в указанном смысле системами являются тригонометрические полиномы.
Теория приближений функций является одним из наиболее интенсивно разрабатываемых направлений в теории функций. Идеи и методы теории приближений являются отправной точкой исследования в ряде вопросов вычислительной математики. С 1968 в США издаётся специализированный журнал "Journal of Approximation Theory".
См. также Приближение функций комплексного переменного.
Лит.: Монографии. Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. - Л., 1949; Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960.
Обзоры. Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947, М. - Л., 1948, с. 288-318; Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957, т. 1, М., 1959, с. 295-379; История отечественной математики, т. 3, К., 1968, с. 568-588.
С. А. Теляковский.
Приближение Фоккера — Планка
Фоккера-Планка приближение
Фо́ккера-Пла́нка приближе́ние — описание физической кинетики частиц в газе в случае, когда распределение частиц по скоростям имеет почти изотропный характер. В основном применяется для описания электронов в газах при воздействии электрического поля.
Сложная функция
ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОЙ ФУНКЦИИ К РЕЗУЛЬТАТУ ДРУГОЙ
Суперпозиция функций; Сложная функция; Композиция отображений
функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = φ(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения φ(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u - промежуточным аргументом. Например, если у = u2, u = sinx, то у = sin2х для всех значений х. Если же, например, у = 
, u = sinx, то у = 
, причём, если ограничиваться действительными значениями функции, С. ф. у как функция х определена только для таких значений х, для которых sin ≥ 0, то есть для 
, где k = 0, ± 1, ± 2,...
Производная С. ф. равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило (цепное правило) распространяется на С. ф. с двумя, тремя и т. д. промежуточными аргументами: если у = f (u1), u1 = φ(u2),..., uk-1 = φk-1(uk), uk = φk (x), то
Wikipedia
Второе приближение
Трио «Второе приближение» (англ. The Second Approach Trio) — российское новоджазовое трио, созданное осенью 1998 года в Москве.
Стилистика группы совмещает русскую и европейскую культуры, синтез композиции и импровизации («компровизация»), мультистилистику новоджазовой сцены, включает элементы фольклора, современной академической музыки и музыкального театра.
Создатель и лидер ансамбля — пианист и композитор Андрей Разин. В коллектив входят вокалистка, заслуженная артистка России, бывшая участница цыганского трио «Ромэн» Татьяна Комова и контрабасист Игорь Иванушкин. Проект продюсирует журналист, радиоведущий и культуртрегер Михаил Митропольский, принимающий участие в выступлениях коллектива с нарративом.
«Второе приближение» позиционирует себя как «открытый проект» и играет совместно с ведущими российскими и зарубежными джазовыми музыкантами, среди которых валторнист Аркадий Шилклопер, саксофонисты Алексей Козлов, Юрий Яремчук, Олег Киреев и Алексей Круглов, новосибирский композитор-пианист и мультиинструменталист Роман Столяр, немецкий барабанщик Клаус Кугель, скрипачка и вокалистка Анна Чекасина и другие.
«Второе приближение» выпустило 15 альбомов, в том числе, с саксофонистами Юрием Яремчуком и Майком Эллисом, тромбонистом Розуэллом Раддом и другими.
Коллектив выступал в Австрии, Болгарии, Венгрии, Германии, Израиле, Китае, Литве, Японии, Молдове, Норвегии, Польше, США, Украине и Финляндии.
