взаимно однозначное отображение проективной плоскости (См. Проективная плоскость) или проективного пространства (См. Проективное пространство) в себя, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой (поэтому П. п. иногда называется коллинеацией). П. п. проективной прямой называется взаимно однозначное отображение её в себя, при котором сохраняется Гармоническое расположение точек этой прямой. Простейшим и вместе с тем наиболее важным для приложений примером П. п. является Гомология - П. п., оставляющее на месте прямую и точку вне её. Примером П. п. пространства является перспектива, т. е. проектирование фигуры F, лежащей в плоскости П, из точки S в фигуру F', расположенную в плоскости П', любое П. п. получается конечной последовательностью перспектив. П. п. образуют группу (См. Группа), основным инвариантом которой является Двойное отношение четырёх точек прямой. Теории инвариантов групп П. п., оставляющих на месте некоторую фигуру, представляют собой метрические геометрии (см. Проективная метрика).

Основная теорема о П. п. проективной плоскости состоит в том, что каковы бы ни были четыре точки А, В, С, D плоскости П, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и четыре точки A', B', C', D' той же плоскости, из которых никакие три также не лежат на одной прямой, существует и притом только одно П. п., которое точки А, В, С, D переводит соответственно в точки A', B', C', D'. Эта теорема применяется в номографии и аэрофотосъёмке. Аналогичная теорема имеет место и в проективном пространстве: там П. п. определяется пятью точками, из которых никакие четыре не лежат в одной плоскости. Эта теорема эквивалентна аксиоме Паппа.

В однородных координатах П. п. выражается однородным линейным преобразованием (См. Линейное преобразование), определитель матрицы которого не равен нулю. Рассматриваются также П. п. евклидовой плоскости или пространства; в декартовых координатах они выражаются дробно-линейными функциями (См. Дробно-линейная функция), причём свойство взаимной однозначности утрачивается.

Лит. см. при ст. Проективная геометрия.

преобразование, переводящее функцию f (t) действительного переменного t (0 < t < ∞), называемую "оригиналом", в функцию

(1)

комплексного переменного р =σ +iτ. Под Л. п. понимают также не только само преобразование, но и его результат - функцию F (p). Интеграл в правой части формулы (1) называется интегралом Лапласа. Он был рассмотрен П. Лапласом в ряде работ, которые объединены в его книге "Аналитическая теория вероятностей", вышедшей в 1812. Значительно раньше (в 1737) такие интегралы применял к решению дифференциальных уравнений Л. Эйлер.

При некоторых условиях, указанных ниже, Л. п. определяет функцию f (t) однозначно, в простейших случаях - по формуле обращения:

(2)

Л. п. является линейным функциональным преобразованием. Из числа основных формул Л. п. можно отметить следующие:

,

, n = 1, 2, ...,

, t >0.

Л. п. в сочетании с формулой (2) его обращения применяется к интегрированию дифференциальных уравнений. В частности, в силу свойства (1) и линейности, Л. п. решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению 1-й степени и может быть, следовательно, легко найдено. Так, если, например, у'' + у = f (t), y (0) = y' (0) = 0

и Y (p) = L [y], F (p) = L [f],

то L [y''] = p²Y (p)

и p²Y (p) + Y (p) = F (p),

откуда

Многочисленные задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности эффективно решаются методами, использующими Л. п.

Л. п. нашло особенно широкое применение в обосновании операционного исчисления (См. Операционное исчисление), в котором обычно вместо Л. п. F (p) вводится "изображение" оригинала f (t) - функция pF (p).

Современная общая теория Л. п. строится на основе интегрирования в смысле Лебега (см. Интеграл). Для применимости Л. п. к функции f (t) необходимо, чтобы f (t) была интегрируема в смысле Лебега на любом конечном интервале (0, t), t > 0 и интеграл (1) для неё сходился хотя бы в одной точке p₀ = σ₀ + iτ₀. Если интеграл (1) сходится в точке р₀, то он сходится во всех точках р, для которых Re (р-р₀) > 0. Т. о., если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости p₀, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число σ_с, что при Re p > σ_c интеграл (1) сходится, а при Re р < σ_с расходится. Число σ_с называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа. F (p) - аналитическая функция (См. Аналитические функции) в полуплоскости Re р > σ_с.

Лит.: Диткин В. А. и Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению. Основы теории и таблицы формул, М. - Л., 1951; Диткин В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., 1961; Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, пер. с нем., М., 1965.