Definición Se puede hablar del determinante de una
matriz cuadrada, de una
aplicación lineal (endomorfismo en dimensión finita) o de
n vectores de un espacio de dimensión
n. Todos estos dominios están relacionados. Lo lógico es empezar por la teoría, hablando de función sobre los vectores, y seguir por la práctica, el cálculo efectivo de determinantes.
Sea
K un
cuerpo (en general, K =
R o K =
C ) y
E un
espacio vectorial sobre K, de dimensión finita
n.
Una
forma de E
n es una aplicación lineal de E
n hacia K. Como E es isomorfo a K
n, esta aplicación se puede escribir así:
E × E × ... E → K
(v1, v2,... vn) → f(v1, v2, ... vn) Una aplicación de E
n es
n-lineal si es lineal con relación a todos sus argumentos, es decir, si se hace variar un solo argumento, fijando los demás, la función varía de forma lineal.
Por ejemplo, la linealidad para con el vector número
i se expresa mediante esta fórmula:
f(v1, ... λ·ui + μ·wi , ... vn) = λ·f(v1, ... ui, ... vn) + μ·f(v1, ... wi , ... vn). Una aplicación de E
n es
alterna si es nula cada vez que hay dos argumentos iguales.
Por ejemplo, si con n = 3; f(u, v, u) = 0 porque el primer y el tercer vector son iguales.