Это статья об извлечении корней. См. также Корень уравнения и Корень многочлена.

Корень ${\displaystyle n}$-й степени из числа ${\displaystyle a}$ определяется как такое число ${\displaystyle b}$, что ${\displaystyle b^{n}=a.}$ Здесь ${\displaystyle n}$ — натуральное число, называемое показателем корня (или степенью корня); как правило, оно больше или равно 2, потому что случай ${\displaystyle n=1}$ не представляет интереса.

Обозначение: ${\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}},}$ символ (знак корня) в правой части называется радикалом. Число ${\displaystyle a}$ (подкоренное выражение) чаще всего вещественное или комплексное, но существуют и обобщения для других математических объектов, например, вычетов, матриц и операторов, см. ниже #Вариации и обобщения.

Примеры для вещественных чисел:

• Корнями 2-й степени из числа 9 являются ${\displaystyle +3}$ и ${\displaystyle -3,}$ у обоих этих чисел квадраты совпадают и равны 9
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ 64}}=4,}$ потому что ${\displaystyle 4^{3}=64.}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {8}{27}}}={\frac {2}{3}},}$ потому что ${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {8}{27}}.}$

Как видно из первого примера, у вещественного корня чётной степени могут быть два значения (положительное и отрицательное), и это затрудняет работу с такими корнями, не позволяя использовать их в арифметических вычислениях. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня (из неотрицательного вещественного числа), значение которого всегда неотрицательно, в первом примере это число ${\displaystyle 3.}$ Кроме того, принято соглашение, по которому знак корня чётной степени из вещественного числа всегда обозначает арифметический корень: ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{9}}=3.}$ Если требуется учесть двузначность корня, перед радикалом ставится знак плюс-минус; например, так делается в формуле решения квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Вещественные корни чётной степени из отрицательных чисел не существуют. Из комплексного числа всегда можно извлечь корень любой степени, но результат определён неоднозначно — комплексный корень ${\displaystyle n}$-й степени из ненулевого числа имеет ${\displaystyle n}$ различных значений (см. #Корни из комплексных чисел).

Операция извлечения корня и алгоритмы её реализации появились в глубокой древности в связи с практическими потребностями геометрии и астрономии, см. #История.