функция вида
т. е. частное двух линейных функций. Д.-л. ф. - простейшая среди рациональных функций (См.
Рациональная функция). При
ad -
bc = 0 она сводится к тождественной постоянной; если
ad -
bc ≠ 0, но
с = 0, то Д.-л. ф. сводится к целой линейной функции
у = α
х + β. Т. о., интерес представляет лишь случай, когда
ad -
bc ≠ 0 и
с ≠ 0; графиком Д.-л. ф., когда
х принимает действительные значения, является равнобочная
Гипербола.
Если
х принимает произвольные комплексные значения (а,
b,
с и
d - фиксированные комплексные числа), то Д.-л. ф. осуществляет взаимно однозначное и
Конформное отображение комплексной плоскости (пополненной точкой ∞) на себя, называемое
дробно-линейным отображением (это единственная аналитическая
функция, обладающая указанным свойством). Д.-л. ф. характеризуется также тем, что она переводит прямые и окружности, лежащие в комплексной плоскости, снова в прямые и окружности. Всякое конформное отображение внутренности круга на себя осуществляется при помощи Д.-л. ф. Двойное отношение четырёх точек
является инвариантом Д.-л. ф. Иными словами, если Д.-л. ф. переводит x1 в y1, x2 в y2, x3 в у3 и x4 в y4, то
Лит.: Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналитических функций, 3 изд., М., 1966; Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967.
С. Б. Стечкин.