Конечных разностей исчисление - définition. Qu'est-ce que Конечных разностей исчисление
Diclib.com
Dictionnaire ChatGPT
Entrez un mot ou une phrase dans n'importe quelle langue 👆
Langue:

Traduction et analyse de mots par intelligence artificielle ChatGPT

Sur cette page, vous pouvez obtenir une analyse détaillée d'un mot ou d'une phrase, réalisée à l'aide de la meilleure technologie d'intelligence artificielle à ce jour:

  • comment le mot est utilisé
  • fréquence d'utilisation
  • il est utilisé plus souvent dans le discours oral ou écrit
  • options de traduction de mots
  • exemples d'utilisation (plusieurs phrases avec traduction)
  • étymologie

Qu'est-ce (qui) est Конечных разностей исчисление - définition

Конечная разность; Исчисление конечных разностей; Конечных разностей исчисление

КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ         
раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся.
Конечных разностей исчисление         

раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления (См. Дифференциальное исчисление) и интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление), где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями "вперёд" для последовательности значений y1= f (x1), y2 = f (x2),..., yk = f (xk),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x0,..., xk,,... (xk = х0 + kh, h - постоянное, k - целое), называют выражения:

ΔykΔf (xk) = f (xk+1) - f (xk)

(разности 1-го порядка),

Δ2ykΔ2f (xk) = Δf (xk+1)- Δf (xk) = f (xk+2)-2f (xk+1) + f (xk)

(разности 2-го порядка),

ΔnykΔnf (xk) = Δn-1f (xk+1) - Δn-1f (xk)

(разности n-го порядка).

Соответственно, конечные разности "назад" Δnyк определяются равенствами

Δnyк = Δnyк + n.

При интерполяции (См. Интерполяция) часто пользуются т. н. центральными разностями δny, которые вычисляются при нечётном n в точках х = xi+1l2h, а при чётном n в точках х = xi по формулам

δf (xi + 1/2h) ≡ δyi+1/2 = f (xi+1) - f (xi),

δ2f (xi) ≡ δ2yi = δyi+1/2,

δ2m-1f (xi + 1/2h) ≡ δ2т-1yi+1/2 = δ2т-2yi+12т-2yi,

δ2mf (xi) ≡ δуi = δ2т-1yi+1/2 - δ2т-1yi-1/2

Они дополняются средними арифметическими

,

,

где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают

.

Центральные разности δny связаны с конечными разностями Δny соотношениями

δуi = Δуi-m,

δ2т+1yi+1/2 = Δ2m+1yi-m

Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. xk+1 - xk не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

........................................................

.

Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Δnyk = f (n)(), где xk≤xk+n. Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Например, для приближённого решения (См. Приближённое решение)дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).

Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида

F [x,(f (x),...,Δnf (x)] = 0 (1)

задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде

Ф [х, f (x), f (x1),..., f (xn)] = 0,

выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

f (x+n) + a1f (x+n-1) +... + anf (x) = 0,

где a1,..., an - постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни λ1, λ2,... λn его характеристического уравнения

λn + a1λn-1+...+an = 0.

Тогда общее решение данного уравнения представится в виде

f (x) = С1λ1х + C2λ2x +... + Cnλnx,

где C1, C2,..., Cn - произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел λ1, λ2,..., λn нет равных).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1-2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.

Под редакцией Н. С. Бахвалова.

КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ         
Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово "конечные" используется здесь в несколько устаревшем смысле "не бесконечно малые", т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей - самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве). Например, термостату требуется значительное время, чтобы отреагировать на изменение температуры, поэтому он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад. Другой пример: автомашиной управляет водитель, которому требуется какое-то время, чтобы отреагировать на возникшую на дороге ситуацию.
Под конечной разностью первого порядка функции f (x) принято понимать величину
где d - некоторая постоянная, которую часто, но не всегда, принимают равной 1. Разность второго порядка обозначается ?2f и представляет собой разность разностей, т.е.
Продолжив этот процесс, мы получим разности более высоких порядков ?3f (x), ?4f (x), ??.
Данные выше определения можно также применить к членам любых последовательностей величин, например, к последовательности
3, 6, 11, 18, 27, 38, ??
Первые разности равны
6 - 3, 11 - 6, 18 - 11, 27 - 18, 38 - 27, ?,
т.е.
3, 5, 7, 9, 11, ?;
разности второго порядка постоянны и равны 2.
В общем виде такие последовательности можно записать как
где разности первого, второго и т.д. порядков определяются выражениями
а n может принимать любое допустимое для индекса значение.
В некоторых приложениях используются последовательности вида
где индексы могут принимать любые убывающие значения. В этом случае вместо символа . используется символ "разделенной разности". Разделенные разности первого и второго порядков определяются следующим образом:
Помимо уже названных выше приложений, исчисление конечных разностей используется в страховании, теории вероятностей и статистике. В последние годы с изобретением быстродействующих компьютеров конечные разности стали все более широко применяться при решении дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, многие из которых ранее было невозможно решить другими математическими методами.
У истоков теории. Хотя исследование свойств и использование конечных разностей приходится на современный период развития математики, Птолемей (ок. 150 н.э.) ввел в Альмагесте таблицу разностей первого порядка, чтобы облегчить расчеты в таблице длин хорд. Разности второго порядка использовал при вычислении своих таблиц логарифмов в 1624 Г.Бриггс. Теория интерполяции берет начало со знаменитой пятой леммы из 3-й книги Математических начал (1687) И.Ньютона, в которой впервые была приведена формула, носящая ныне его имя. Частный случай формулы Ньютона, открытый также независимо его современником Дж.Грегори (1638-1675), приведен ниже (см. формулу (7)). В общей формуле интерполяции Ньютона использовались разделенные разности, хотя этот термин, по-видимому, был введен О.де Морганом (1806-1871) в 1848. Первое применение исчисления конечных разностей к задачам теории вероятностей принято связывать с именами П.де Монтмора (1678-1719) и А.де Муавра (1667-1754).
Хотя Л.Эйлер (1707-1783) в своих работах по дифференциальному исчислению использовал предельные переходы в конечных разностях, основания современной теории конечных разностей были заложены в основном Ж.Лагранжем (1736-1813) и П.Лапласом (1749-1827). Первый из них ввел в исчисление конечных разностей символические методы, второй сделал конечные разности главным инструментом в своей Аналитической теории вероятностей (1812).
Под влиянием этих работ математики 19 в. принялись интенсивно разрабатывать предмет, и в 1860 Дж.Буль выпустил свой классический Трактат об исчислении конечных разностей. С тех пор это исчисление и круг его приложений существенно расширились. Одно из наиболее важных приложений конечные разности нашли в статистике. Особенно полезными они оказались в теории сериальной корреляции, в анализе случайных последовательностей и статистических временных рядов.

Wikipédia

Конечные разности

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании и численном дифференцировании.

Qu'est-ce que КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ - définition