математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на
множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение меры Лебега (введённой А.
Лебегом в 1902) для ограниченных
множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения. При этом и способ сравнения напоминает обычный процесс измерения площади. Меру Лебега
m (Δ) любого квадрата Δ полагают равной его площади. Затем рассматриваемое множество А покрывают конечным или бесконечным числом квадратов Δ
1, Δ
2,..., Δ
n,...; нижнюю грань чисел
взятую по всевозможным покрытиям множества А, называют верхней (внешней) мерой m*(А) множества А. Нижняя (внутренняя) мера m* (А) множества А определяется как разность
где Δ - какой-либо квадрат, содержащий множество
А, и
- множество всех точек этого квадрата, не содержащихся в
А.
Множества, для которых верхняя
мера равна нижней, называют измеримыми по Лебегу, а общее значение
m (
А) верхней и нижней
мер - мерой Лебега
множества А. Геометрические фигуры, имеющие площадь в элементарном смысле (см.
Квадрируемая область)
, измеримы, и их
мера Лебега совпадает с их площадью. Однако существуют и неквадрируемые измеримые
множества. Аналогично можно определить меру Лебега на прямой. При этом верхнюю меру определяют, рассматривая покрытия
множества интервалами.
Основные свойства меры Лебега: 1) мера любого множества неотрицательна: m (A)Δ ́≥ ́0; 2) мера суммы
конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств A1, A2..., An... равна сумме их мер:
3) при перемещении множества как твёрдого тела его мера не меняется.
Своеобразие понятия "М. м." можно пояснить следующим примером: множество А рациональных точек интервала (0, 1) и множество В иррациональных точек того же интервала сходны в том смысле, что каждое из них плотно на интервале (0, 1), т. е., что между любыми двумя точками указанного интервала найдутся как точки множества А, так и точки множества В; в то же время они резко различаются по мере: m (А) = 0, а m (В) = 1.
Для более узких классов
множеств мера, совпадающая с лебеговской, была ранее определена М. Э. К.
Жорданом (1893) и Э. Борелем (См.
Борель) (1898). О других вопросах, связанных с мерой Лебега, см.
Интеграл.
Развитие ряда отделов современной математики привело к дальнейшим обобщениям - созданию т. н. абстрактной теории меры. При этом М. м. определяют аксиоматически. Пусть U - произвольное множество и
- некоторое семейство его подмножеств. Неотрицательную функцию μ(
A), определённую для всех
А, входящих в
, называют мерой, если она вполне аддитивна [т. е., если для любой последовательности непересекающихся
множеств A1,
A2,...,
An,..., входящих в
, сумма
А которых входит в
, имеет место равенство
и если, кроме того, система
удовлетворяет определённым дополнительным условиям.
Множества, входящие в
, называют измеримыми (по отношению к мере μ). После того как определена
мера μ, вводят понятие измеримых (по отношению к μ) функций и операцию интегрирования.
Многие основные утверждения из теории меры Лебега, теории измеримых функций и интеграла Лебега сохраняются с соответствующими видоизменениями и в абстрактной теории меры и интеграла. Последняя составляет математическое основание современной теории вероятностей, данное в 1933 А. Н.
Колмогоровым
. Специальный интерес для ряда областей математики представляют меры, инвариантные по отношению к той или иной группе преобразований
множества U в себя.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М. - Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Халмош П. Р., Теория меры, пер. с англ., М., 1953.
Ю. В. Прохоров.