в математической статистике,
методы непосредственной оценки теоретического распределения вероятностей и тех или иных его общих свойств (симметрии и т.п.) по результатам наблюдений. Название Н. м. подчёркивает их отличие от классических (параметрических) методов, в которых предполагается, что неизвестное теоретическое распределение принадлежит какому-либо семейству, зависящему от конечного числа параметров (например, семейству нормальных распределений (См.
Нормальное распределение))
, и которые позволяют по результатам наблюдений оценивать неизвестные значения этих параметров и проверять те или иные гипотезы относительно их значений. Разработка Н. м. является в значительной степени заслугой советских учёных.
В качестве примера Н. м. можно привести найденный А. Н.
Колмогоровым
способ проверки согласованности теоретических и эмпирических распределений (так называемый критерий Колмогорова). Пусть результаты n независимых наблюдений некоторой величины имеют функцию распределения
F (
x) и пусть
Fn (
x) обозначает эмпирическую функцию распределения (см.
Вариационный ряд)
, построенную по этим
n наблюдениям, a
Dn - наибольшее по абсолютной величине значение разности
Fn (
x)
- F (
x)
. Случайная величина
имеет в случае непрерывности F (x) функцию распределения Kn (λ), не зависящую от F (x) и стремящуюся при безграничном возрастании n к пределу
Отсюда при достаточно больших n, для вероятности pn,λ. Неравенства
получается приближённое выражение
pn,λ ≈ 1 - К (λ). (*)
Функция К (λ) табулирована. Её значения для некоторых А приведены в табл.
Таблица функции К (λ)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| λ | 0,57 | 0,71 | 0,83 | 1,02 | 1,36 | 1,63 |
|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| К (λ) | 0,10 | 0,30 | 0,50 | 0,75 | 0,95 | 0,99 |
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Равенство (*) следующим образом используется для проверки гипотезы о том, что наблюдаемая случайная величина имеет функцию распределения
F (
x)
: сначала по результатам наблюдений находят значение величины
Dn, а затем по формуле (*) вычисляют вероятность получения отклонения
Fn от
F, большего или равного наблюдённому. Если указанная вероятность достаточно мала, то в соответствии с общими принципами проверки статистических гипотез (см.
Статистическая проверка гипотез) проверяемую гипотезу отвергают. В противном случае считают, что результаты опыта не противоречат проверяемой гипотезе. Аналогично проверяется гипотеза о том, получены ли две независимые выборки, объёма
n1 и
n2 соответственно, из одной и той же генеральной совокупности с непрерывным законом распределения. При этом вместо формулы (*) пользуются тем, что вероятность неравенства
как это было установлено Н. В.
Смирновым
, имеет пределом
К (λ)
, здесь
Dn1, n2 есть наибольшее по абсолютной величине значение разности
Fn1 (
х)
- Fn2 (
х)
.
Другим примером Н. м. могут служить методы проверки гипотезы о том, что теоретическое распределение принадлежит к семейству нормальных распределений. Отметим здесь лишь один из этих методов - так называемый метод выпрямленной диаграммы. Этот метод основывается на следующем замечании. Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами α и σ, то
где Ф-1 - функция, обратная нормальной:
Т. о., график функции у = Ф-1[F (x)] будет в этом случае прямой линией, а график функции у = Ф-1[Fn (x)] - ломаной линией, близкой к этой прямой (см. рис.). Степень близости и служит критерием для проверки гипотезы нормальности распределения F (x).
Лит.: Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969; Большее Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1968.
Ю. В. Прохоров.
Рис. к ст. Непараметрические методы.