случайные отклонения наблюдаемых физических величин от их средних значений. Ф. происходят у любых величин, зависящих от случайных факторов и описываемых методами статистики (см. Случайный процесс). Количественная характеристика Ф. основана на методах математической статистики (См. Математическая статистика) и вероятностей теории (См. Вероятностей теория). Простейшей мерой Ф. величины х служит её Дисперсия σ²_x, т. е. средний квадрат отклонения х от её среднего значения , σ²_x = , где черта сверху означает статистическое усреднение. Эквивалентной мерой Ф. является Квадратичное отклонение Ox, равное корню квадратному из дисперсии, или его относительная величина δ_x = σ_х/х.

В статистической физике (См. Статистическая физика) наблюдаемые значения физических величин очень близки к их средним статистическим значениям, т. е. Ф., вызванные случайным тепловым движением частиц (например, Ф. средней энергии, плотности, давления), очень малы. Однако они имеют принципиальное значение, ограничивая пределы применимости термодинамических понятий лишь большими (содержащими очень много частиц) системами, для которых Ф. значительно меньше самих флуктуирующих величин. Существование Ф. уточняет смысл второго начала термодинамики (См. Второе начало термодинамики): утверждение о невозможности вечного двигателя 2-го рода остаётся справедливым, но оказываются возможными Ф. системы из равновесного состояния в неравновесные, обладающие меньшей энтропией (См. Энтропия); однако на основе таких Ф. нельзя построить вечный двигатель 2-го рода. Для средних величин остаётся справедливым закон возрастания энтропии в изолированной системе.

Основы теории Ф. были заложены в работах Дж. Гиббса, А. Эйнштейна, М. Смолуховского (См. Смолуховский).

С помощью Гиббса распределений (См. Гиббса распределение) можно вычислить Ф. в состоянии статистического равновесия для систем, находящихся в различных физических условиях; при этом Ф. выражаются через равновесные термодинамические параметры и производные потенциалов термодинамических (См. Потенциалы термодинамические). Например, для систем с постоянным объёмом V и постоянным числом частиц N, находящихся в контакте с термостатом (с температурой Т), каноническое распределение Гиббса даёт для Ф. энергии (Е): = (kT)²C_V, где k - Больцмана постоянная, C_V - теплоёмкость при постоянном объёме. Такое же выражение для Ф. справедливо и в случае квантовой статистики, различаются лишь явные выражения для C_V. Для систем с постоянным объёмом в контакте с термостатом и резервуаром частиц большое каноническое распределение Гиббса даёт для Ф. числа частиц: , где μ - Химический потенциал. В приведённых примерах флуктуируют пропорциональные объёму (т. н. экстенсивные) величины. Их относительные квадратичные Ф. пропорциональны величине 1/N (нормальные Ф.) и, следовательно, очень малы. В точках фазовых переходов Ф. сильно возрастают, и их относительное убывание с N может быть более медленным.

Для более детальной характеристики Ф. нужно знать функцию распределения их вероятностей. Вероятность w (x₁,..., х_п) Ф. некоторых величин x₁,..., х_п из состояния неполного термодинамического равновесия с энтропией S (,..., ) в состояние с энтропией S (x₁,..., х_п) определяется формулой Больцмана:

w (x₁,..., х_п)/w (χ̅₁,..., x̅_n) = exp {S (x₁,..., х_п) - S (χ̅₁,..., x̅_n)}

(поскольку энтропия равна логарифму статистического веса (См. Статистический вес), или термодинамической вероятности состояния). Под энтропией состояния неполного равновесия понимают энтропию вспомогательного равновесного состояния, которое характеризуется такими же средними значениями x_i, как и данное неравновесное. Для малых Δx_i = x_i - x_i эта формула переходит в распределение Гаусса:

w (x₁,..., х_п) = А,

где А - константа, определяемая из условия нормировки вероятности к 1.

Можно найти не только Ф. величин x_i, но и корреляции между ними , определяющие их взаимное влияние (лишь в случае статистически независимых величин ); примером могут служить корреляции температуры и давления: (температура связана со средней энергией), объёма и давления: . Для физических величин А (х, t), В (х, t), зависящих от координат (x) и времени (t), вообще говоря, имеют место пространственно-временные корреляции между их Ф. в различных точках пространства в различные моменты времени:

;

функции F называются пространственно-временными корреляционными (или коррелятивными) функциями и в состоянии статистического равновесия зависят лишь от разностей координат и времени. Функции F для плотности (n) числа частиц могут быть экспериментально измерены по рассеянию медленных нейтронов или рентгеновских лучей: дважды дифференциальное сечение рассеяния нейтронов определяет фурье-образ пространственно-временной корреляционной функции плотностей частиц в среде.

Ф. связаны с неравновесными процессами (См. Неравновесные процессы). Такие неравновесные характеристики системы, как кинетические коэффициенты (см. Кинетика физическая), пропорциональны интегралам по времени от временных корреляционных функций потоков физических величин (формулы Грина - Кубо). Например, электропроводность пропорциональна интегралу от корреляционных функций плотностей токов, коэффициенты теплопроводности, вязкости, диффузии пропорциональны соответственно интегралам от корреляционных функций плотностей потоков тепла, импульса и диффузионного потока.

В общем случае существует связь между Ф. физических величин и диссипативными свойствами системы при внешнем возмущении. Реакция системы на некоторое возмущение (т. е. соответствующее изменение некоторой физической величины) определяется т. н. обобщённой восприимчивостью, мнимая часть которой пропорциональна фурье-компоненте временной корреляционной функции возмущений, связанных с данным воздействием (флуктуационно-диссипативная теорема).

Ф. в системах заряженных частиц проявляются как хаотические изменения потенциалов, токов или зарядов; они обусловлены как дискретностью электрического заряда, так и тепловым движением носителей заряда. Эти Ф. являются причиной электрических Шумов и определяют предел чувствительности приборов для регистрации слабых электрических сигналов (см. Флуктуации электрические).

Ф. можно наблюдать по рассеянию света: случайные изменения плотности среды из-за Ф. вызывают случайные изменения по объёму показателя преломления, и в однородной по составу среде или даже в химически чистом веществе может происходить рассеяние света, как в мутной среде. Это явление особенно заметно в бинарных растворах при температуре, близкой к критической температуре расслаивания, - т. н. критическое рассеяние света. Ф. также очень велики в критической точке равновесия жидкость - пар (см. Критические явления). Ф. давления проявляются в броуновском движении (См. Броуновское движение) взвешенных в жидкости (или газе) малых частиц под влиянием нескомпенсированных точно ударов молекул окружающей среды.

Лит.: Эйнштейн А., Смолуховский М., Брауновское движение. Сб., пер. с нем., М. - Л., 1936; Леонтович М. А., Статистическая физика, М. - Л., 1944; Мюнстер А., Теория флуктуаций, в сборнике: Термодинамика необратимых процессов, пер. с англ., М., 1962; Зубарев Д. Н., Неравновесная статистическая термодинамика, М., 1971; Левин М. Л., Рытов С. М., Теория равновесных тепловых флуктуаций в электродинамике, М., 1967. См. также лит. при ст. Статистическая физика.

Д. Н. Зубарев.

хаотические изменения потенциалов, токов и зарядов в электрических цепях и линиях связи. Ф. э. вызываются тепловым движением носителей заряда (См. Носители заряда) и др. физическими процессами в веществе, обусловленными дискретной природой электричества (естественные Ф. э.), а также случайными изменениями и нестабильностью характеристик цепей (технические Ф. э.). Ф. э. возникают в пассивных элементах цепей (металлических и неметаллических проводниках), в активных элементах (электронных, ионных и полупроводниковых приборах), а также в атмосфере, в которой происходит Распространение радиоволн.

Тепловые Ф. э. (тепловой шум) обусловлены тепловым движением носителей заряда в проводнике, в результате чего на концах проводника возникает флуктуирующая разность потенциалов. В металлах (См. Металлы) из-за большой концентрации электронов проводимости и малой длины свободного пробега тепловые скорости электронов во много раз превосходят скорость направленного движения в электрическом поле (дрейфа). Поэтому Ф. э. в металлах зависят от температуры, но не зависят от приложенного напряжения (Найквиста формула). При комнатной температуре интенсивность тепловых Ф. э. остаётся постоянной до частот Флуктуации электрические 10¹² гц. Хотя тепловые Ф. э. возникают только в активных сопротивлениях, наличие реактивных элементов (ёмкостей и индуктивностей) может изменить частотный спектр Ф. э. В неметаллических проводниках Ф. э. на низких частотах на несколько порядков превышают тепловые Ф. э. Эти избыточные шумы объясняются медленной случайной перестройкой структуры проводника под действием тока.

Ф. э. в электровакуумных и ионных приборах связаны главным образом со случайным характером электронной эмиссии (См. Электронная эмиссия) с катода (Дробовой шум). Интенсивность дробовых Ф. э. практически постоянна для частот (10⁸ гц и зависит от присутствия остаточных ионов и величины объёмного заряда (см. Дробовой эффект). Дополнительные источники Ф. э. в этих приборах - Вторичная электронная эмиссия с анода и сеток электронных ламп, динодов фотоэлектронных умножителей (См. Фотоэлектронный умножитель) и т.п., а также случайное перераспределение тока между электродами. В электровакуумных и ионных приборах наблюдаются также медленные Ф. э., связанные с различными процессами на катоде (см. Фликкер-эффект). В газоразрядных приборах низкого давления Ф. э. возникают из-за теплового движения электронов.

В полупроводниковых приборах (См. Полупроводниковые приборы) Ф. э. обусловлены случайным характером процессов генерации и рекомбинации электронов и дырок (генерационно-рекомбинационный шум) и диффузии носителей заряда (диффузионный шум). Оба процесса дают вклад как в тепловой, так и в дробовой шумы полупроводниковых приборов. Частотный спектр этих Ф. э. определяется временами жизни и дрейфа носителей. В полупроводниковых приборах наблюдаются также Ф. э., обусловленные "улавливанием" электронов и дырок дефектами кристаллической структуры (см. Дефекты в кристаллах, Полупроводники).

В приборах, работающих на принципе вынужденного излучения (Мазеры и др.), проявляются шумы спонтанной эмиссии, обусловленные квантовым характером электромагнитного излучения.

Технические Ф. э. связаны с температурными изменениями параметров цепей и их старением, нестабильностью источников питания, с помехами от промышленных установок, вибрацией и толчками, с нарушениями электрических контактов и т.п.

Ф. э. в генераторах электрических колебаний вызывают модуляцию амплитуды и частоты колебаний (см. Модуляция колебаний), что приводит к появлению непрерывного частотного спектра колебаний или к уширению спектральной линии генерируемых колебаний, составляющему величину 10^-7-10^-12 от несущей частоты.

Ф. э. приводят к появлению ложных сигналов - шумов на выходе усилителей электрических сигналов, ограничивают их чувствительность и Помехоустойчивость, уменьшают стабильность генераторов и устойчивость систем автоматического регулирования и т.д.

Лит.: Власов В. Ф., Электронные и ионные приборы, 3 изд., М., 1960, гл. 13; Бонч-Бруевич А. М., Радиоэлектроника в экспериментальной физике, М., 1966; Левин М. Л., Рытов С. М., Теория равновесных тепловых флуктуаций в электродинамике, М., 1967; Малахов А. Н., Флуктуации в автоколебательных системах, М., 1968; Ван дер Зил А., Шум, пер. с англ., М., 1973.

И. Т. Трофименко.