весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций (См.
Трансцендентные функции)
, являющихся решениями дифференциального уравнения:
(1)
где ν - произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид:
[где Г (
z) -
Гамма-функция; ряд справа сходится при всех значениях
х]
, называется Ц. ф. первого рода порядка ν. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет вид:
Если ν - целое отрицательное: ν = - n, то Jν(x) определяется так:
J-n (x) = (- 1) n Jn (x).
Ц. ф. порядка ν = m + 1/2, где m - целое число, сводится к элементарным функциям, например:
,
Функции Jν(
x) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя (См.
Бессель)
(
Бесселя функции, Бесселя уравнение)
. Однако эти
функции и уравнение (1) были получены ещё Л.
Эйлером
при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д.
Бернулли, посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка
1/
3 в письме Я.
Бернулли к Г.
Лейбницу
(1703)
.
Если ν не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид
y = C1Jν(x) + C2J-ν(x), (2)
где C1 и C2 - постоянные. Если же ν - целое, то Jν(x) и J-ν(x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):
При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде
у = C1Jν(x) + C2Yν(x)
(как при целом, так и при нецелом ν).
В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента
и
(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению
общее решение которого имеет вид
y = C1lν(x) + C2Kν(x)
(как при целом, так и нецелом ν). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)
,
а также функции Томсона ber (х) и bei (x), определяемые соотношением
ber (
x) +
i bei (
x) =
I0(
x ).
Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента:
,
,
,
,
из которых, в частности, вытекает, что Ц. ф. Jν(x) и Yν(x) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно,
и
Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1-2, М., 1949; Бейтмен Г., Эрдей А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974.