интегралы вида
(1)
(Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л.
Эйлером в 1730-31, ранее рассматривалась И.
Ньютоном и Дж.
Валлисом) и
(2)
[Э. и. второго рода, или
Гамма-функция,
рассмотренная Л. Эйлером в 1729-30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название "Э. и." дано А.
Лежандром
. Э. и. позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные коэффициенты
и факториал
n!, ибо, если
а и
b- натуральные числа, то
, Г (
а +1) =
а!
Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, если а и b положительны, и перестают существовать, если а и b отрицательны. Имеют место соотношения
В (
a,
b)
= B (
b,
a),
;
последнее сводит бета-функцию к гамма-функции. Существует ряд соотношений между Э. и. при различных значениях аргумента, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Э. и. можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов
а и
b. Э. и. встречаются во многих вопросах теории специальных функций (См.
Специальные функции), к ним сводятся многие определённые
интегралы, не выражаемые элементарно. Э. и. называется также
интеграл
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Артин Е., Введение в теорию гамма-функций, пер. с нем., М.- Л., 1934; Уиттекер Е. Т., Ватсон Д. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.