Комплексные числа - definitie. Wat is Комплексные числа
Diclib.com
Woordenboek ChatGPT
Voer een woord of zin in in een taal naar keuze 👆
Taal:

Vertaling en analyse van woorden door kunstmatige intelligentie ChatGPT

Op deze pagina kunt u een gedetailleerde analyse krijgen van een woord of zin, geproduceerd met behulp van de beste kunstmatige intelligentietechnologie tot nu toe:

  • hoe het woord wordt gebruikt
  • gebruiksfrequentie
  • het wordt vaker gebruikt in mondelinge of schriftelijke toespraken
  • opties voor woordvertaling
  • Gebruiksvoorbeelden (meerdere zinnen met vertaling)
  • etymologie

Wat (wie) is Комплексные числа - definitie

РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Комплексные числа; Комплексное сопряжение; Аргумент (комплексного числа); Аргумент комплексного числа; Мнимая величина; Модуль комплексного числа; Поле комплексных чисел; Чисто комплексные числа; A+bi; Показательная форма комплексного числа; Комплексная единица; ℜ; ℑ; ℂ; Комплексный модуль
  • Геометрическое представление сопряжённых чисел
  • Модуль <math>r</math> и аргумент <math>\varphi</math> комплексного числа
  • конформного преобразования]]
  • Иерархия чисел
  • Геометрическое представление комплексного числа
  • Корни пятой степени из единицы]] (вершины пятиугольника)
  • Тригонометрическое представление
  • link=https://www.youtube.com/watch?list=PLw2BeOjATqrtxJHK1H1Tpy5XG7YLN9RVq&v=bY4DS1RwwAE
  • link=https://www.youtube.com/watch?list=PLw2BeOjATqrtxJHK1H1Tpy5XG7YLN9RVq&v=bY4DS1RwwAE

Комплексные числа         

числа вида х + iy, где х и у - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен -1); х называют действительной частью, а у - мнимой частью К. ч. z = х +iy (обозначают х =Rez, у=Imz). Действительные числа (См. Действительное число) - частный случай К. ч. (при у = 0); К. ч., не являющиеся действительными (у ≠ 0), называют мнимыми числами; при х = 0 К. ч. Называют чисто мнимым. К. ч. z = х+iy и z = х-iy называют комплексно-сопряжёнными. Арифметические действия над К. ч. производятся по обычным правилам действий над многочленами с учётом условия i2=-1. Геометрически каждое К. ч. х + iy изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты х и у (см. рис.). Если полярные координаты этой точки обозначить через r и φ:, то соответствующее К. ч. можно представить в виде:

r (cos φ + i sin φ)

(тригонометрическая, или полярная, форма К. ч.);

называют модулем К. ч. х+iy, а φ = arg z - аргументом его. Тригонометрическая форма К. ч. особенно удобна для действий возведения в степень и извлечения корня:

[r (cos φ + i sin φ)] n = rn (cos nφ + i sin nφ),

, в частности

, k = 0, 1, ..., n-1

По своим алгебраическим свойствам совокупность К. ч. образует Поле. Это поле алгебраически замкнуто, т. е. любое уравнение xn + a1xn-1+...+an =0; где a1,..., an - К. ч., имеет (при учёте кратности) среди К. ч. точно n корней.

Уже в древности математики сталкивались в процессе решения некоторых задач с извлечением квадратного корня из отрицательных чисел; в этом случае задача считалась неразрешимой. Когда же в 1-й половине 16 в. были найдены формулы для решения кубических уравнений (См. Кубическое уравнение), оказалось, что в так называемом неприводимом случае действительные корни уравнений с действительными коэффициентами получаются в результате действий над К. ч. Это содействовало признанию К. ч. Первое обоснование простейших действий с К. ч. встречается у Р. Бомбелли в 1572. Однако долгое время к К. ч. относились, как к чему-то сверхъестественному. Так, Г. Лейбниц в 1702 писал: "Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием". В 1748 Л. Эйлер нашёл замечательную формулу eiφ = cosφ + isinφ, явившуюся первым важным результатом теории функций комплексного переменного, но истинный характер К. ч. выяснился лишь к концу 18 в., когда была открыта их геометрическая интерпретация (см. выше). Термин "К. ч." предложен К. Гауссом в 1831. Введение К. ч. делает многие математические рассмотрения более единообразными и ясными и является важным этапом в развитии понятия о числе (см. Число). К. ч. Употребляются теперь при математическом описании многих вопросов физики и техники (в гидродинамике, аэромеханике, электротехнике, атомной физике и т.д.). Основные разделы классического математического анализа приобретают полную ясность и законченность только при использовании К. ч., чем обусловливается центральное место, занимаемое теорией функций комплексного переменного. См. Аналитические функции.

Лит.: Маркушевич А. И., Комплексные числа и конформные отображения, 2 изд., М., 1960; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.

Рис. к ст. Комплексные числа.

Гиперболические числа         
Паракомплексные числа; Расщепляемые комплексные числа; Двойные числа
Гиперболические числа, или двойны́е чи́сла, паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па, контркомпле́ксные чи́слаС. А.
Комплексное число         
Ко́мпле́ксные чи́сла (от  — связь, сочетание; о двойном ударении см. примечаниеДва возможных ударения указаны согласно следующим источникам.

Wikipedia

Комплексное число

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание; о двойном ударении см. примечание) — числа вида a + b i , {\displaystyle a+bi,} где a , b {\displaystyle a,b}  — вещественные числа, i {\displaystyle i}  — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: i 2 = 1. {\displaystyle i^{2}=-1.} Множество комплексных чисел обычно обозначается символом  C . {\displaystyle \mathbb {C} .} Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид a + 0 i . {\displaystyle a+0i.} Главное свойство C {\displaystyle \mathbb {C} }  — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен n {\displaystyle n} -й степени ( n 1 {\displaystyle n\geqslant 1} ) имеет n {\displaystyle n} корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше. Удобно представлять комплексные числа a + b i {\displaystyle a+bi} точками на комплексной плоскости; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе.

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение i {\displaystyle i} для мнимой единицы, Декарт, Гаусс. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году.

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы.