En matemáticas, la función error (también conocida como función error de Gauss), normalmente denotada por ${\displaystyle \operatorname {erf} }$, es una función compleja de una variable compleja definida como:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}dt}$

Esta integral es una función sigmoide (no elemental) que se utiliza en el campo de la probabilidad, la estadística y en ecuaciones diferenciales parciales. En muchas de estas aplicaciones, el argumento de la función es un número real. Si el argumento de la función es real entonces el valor de la función también es real.

En estadística, para valores no negativos de ${\displaystyle x}$, la función error tiene la siguiente interpretación: para una variable aleatoria ${\displaystyle Y}$ que sigue una distribución normal con media 0 y varianza ${\displaystyle 1/2}$, ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$ es la probabilidad de que ${\displaystyle Y}$ caiga en el intervalo ${\displaystyle [-x,x]}$.

Dos funciones relacionadas son la función error complementaria, denotada por ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$, definida como

${\displaystyle {\mbox{erfc}}(z)=1-{\mbox{erf}}(z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{z}^{\infty }e^{-t^{2}}dt}$.

y la función error imaginaria, denotada por ${\displaystyle \operatorname {erfi} }$, definida como

${\displaystyle {\mbox{erfi}}(z)=-i\;{\mbox{erf}}(iz)}$

donde ${\displaystyle i}$ es la unidad imaginaria.