En matemáticas, el teorema del número pentagonal, originalmente formulado por Leonhard Euler, da una equivalencia entre la representación en forma producto y de serie de la función de Euler. Se formula como:

O escrito como:

${\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots }$

Una de las características principales, y a la vez interesante, es la cancelación de algunos términos al desarrollar el producto. Los coeficientes 1, 2, 5, 7, 12... que aparecen en los exponentes en la parte derecha de la identidad corresponden a los números pentagonales (más exactamente, a los números pentagonales generalizados).

Si nosotros tratamos la serie resultante como una serie de potencias, ésta tiene un radio de convergencia igual a 1. Ignorando el radio de convergencia, y basándonos en su serie de potencias formal, el teorema sigue cumpliéndose, ya que éste sólo hace una equivalencia entre una representación en forma de suma y de producto.

A continuación se muestran un par de pruebas en términos modernos, aunque si uno lo desea, puede consultar la prueba original de Euler aquí.^[1]​