Na teoria dos conjuntos, um número ordinal, ou só ordinal, é um tipo de ordem de um conjunto bem-ordenado. Eles são usualmente identificados com conjuntos hereditariamente transitivos. Ordinais são uma extensão dos números naturais diferentes dos inteiros e dos cardinais. Como outros tipos de números, ordinais podem ser somados, multiplicados e exponenciados.

Os ordinais foram apresentados por Georg Cantor em 1883 para acomodar sequências infinitas e para classificar conjuntos com certos tipos de estruturas de ordem neles. Ele os derivou por acidente, enquanto trabalhava num problema que envolvia séries trigonométricas.

Os ordinais finitos (e cardinais finitos) são os números naturais: ${\displaystyle 0,1,2,\ldots }$, já que quaisquer duas ordens de um conjunto finito são isomórficas de ordem. O menor ordinal infinito é o ${\displaystyle \omega }$, que é identificado com o número cardinal ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Entretanto, no caso transfinito, além de ${\displaystyle \omega }$, ordinais elaboram uma distinção mais refinada do que os cardinais na contagem de suas informações de ordem. Enquanto há somente um cardinal infinito contável, que é o ${\displaystyle \aleph _{0}}$, há incontáveis ordinais infinitos contáveis, que são:

${\displaystyle \omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots ,}$

${\displaystyle \omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\ldots ,}$

${\displaystyle \omega ^{2},\ldots ,\omega ^{3},\ldots ,\omega ^{\omega },\ldots ,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\varepsilon _{0},\ldots }$

Aqui, adição e multiplicação não são comutativas: em particular, ${\displaystyle 1+\omega }$ é ${\displaystyle \omega }$, ao contrário de ${\displaystyle \omega +1}$, assim como ${\displaystyle 2\cdot \omega }$ é ${\displaystyle \omega }$, enquanto ${\displaystyle \omega \cdot 2}$ não é. O conjunto de todos os ordinais contáveis constitui o primeiro ordinal incontável ${\displaystyle \omega _{1}}$, que é identificado como cardinal (próximo cardinal após o). Cardinais bem-ordenados são identificados com seus ordinais iniciais, ou seja, o menor ordinal daquela cardinalidade. A cardinalidade de um ordinal é a associação de ordinais com cardinais.

Em geral, cada ordinal ${\displaystyle \alpha }$ é o tipo de ordem do conjunto de ordinais estritamente menores que o ordinal, o próprio α. Esta propriedade permite que todo ordinal seja representado como o conjunto de todos os ordinais menores que ele. Ordinais podem ser categorizados como: zero, ordinais sucessor e ordinais limite (de várias cofinalidades). Dada uma classe de ordinais, pode-se identificar um α-ésimo membro daquela classe, ou seja, pode-se indexá-los (contá-los). Tal classe é fechada e não limitada se sua função de indexação é contínua e nunca para. A foma normal de Cantor representa unicamente cada ordinal como um somatório finito de potências ordinais de ${\displaystyle \omega }$. Entretanto, isto não pode forma a base da notação universal dos ordinais devido a tal representação auto referencial, como ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\varepsilon _{0}}}$. Ordinais cada vez maiores podem ser definidos, mas eles ficam mais e mais difíceis de descrever. Qualquer número ordinal pode ser transformado em um espaço topológico por atribuí-lo com a topologia de ordem; esta topologia é discreta se e somente se o ordinal é um cardinal contável, ou seja, no máximo ${\displaystyle \omega }$. Um subconjunto de ${\displaystyle \omega +1}$ é aberto na topologia de ordem se e somente se ou ele é cofinito ou ele não contém ω como elemento.