Неопределённые выражения - definição. O que é Неопределённые выражения. Significado, conceito
Diclib.com
Dicionário ChatGPT
Digite uma palavra ou frase em qualquer idioma 👆
Idioma:

Tradução e análise de palavras por inteligência artificial ChatGPT

Nesta página você pode obter uma análise detalhada de uma palavra ou frase, produzida usando a melhor tecnologia de inteligência artificial até o momento:

  • como a palavra é usada
  • frequência de uso
  • é usado com mais frequência na fala oral ou escrita
  • opções de tradução de palavras
  • exemplos de uso (várias frases com tradução)
  • etimologia

O que (quem) é Неопределённые выражения - definição

Неопределённости пределов; Неопределенности пределов; Раскрытие неопределенностей; Неопределённость (математика); Деление ноля на ноль; Indefinite; Неопределённые выражения; Раскрытие неопределённости

Неопределённые выражения         

в математике, выражения, Предел которых не может быть найден путём непосредственного применения теорем о пределах. Типы Н. в.:

К Н. в. относятся:

причём

причём

где e = 2,71828... - Неперово число. Указанные типы Н. в. символически обозначают так:

Следует отметить, что данная функция может являться Н. в. при одних значениях аргумента и не являться таковым при других (например, выражение

не является Н. в.). Не всякое Н. в. имеет предел; так, выражение

не стремится ни к какому пределу

Нахождение предела Н. в. (в случае, когда он существует) называют иногда "раскрытием неопределённости", или нахождением "истинного значения" Н. в. (второй термин устарел). Оно часто основывается на замене данной функции другой, имеющей тот же предел, но не являющейся уже Н. в. Иногда такая замена достигается путём алгебраических преобразований.

Так, например, сокращая в выражении

числитель и знаменатель на 1-x, получаем

поэтому

Для вычисления пределов Н. в. типов 1) и 2) часто оказывается полезной теорема (или правило) Лопиталя, утверждающая, что в этих случаях

если f (x) и g (x) дифференцируемы в окрестности (конечной или бесконечно удалённой) точки x0, за возможным исключением самой точки x0, и второй предел существует. Пользуясь этой теоремой, находим, например, что

Иногда

вновь является Н. в. вида 1) или 2); тогда теорема Лопиталя может быть применена (при выполнении её условий) ещё раз и т. д. Однако это не всегда приводит к цели: например, применение теоремы Лопиталя к Н. в.

[f (x) = ex + e-x, g (x) = ex - e-x]при x → 0 ничего не даёт. Может также случиться, что

не существует, тогда как

типа 1) или 2) всё же существует; пример:

не существует. Мощным средством нахождения пределов Н. в. является разложение функций в ряды. Например, так как

то

Н. в. видов 3)-7) могут быть сведены к одному из видов 1) или 2). Так, например, при х → π/2 Н. в.

вида 4) преобразуется к виду 1):

а последнее Н. в. имеет предел 0; Н. в. вида 3) приводится к Н. в. вида 1) или 2) преобразованием

где

Наконец, если через u (х) обозначить логарифм Н. в. видов 5), 6) и 7): u (x) = g (x) lnf (x), то u (х) является Н. в. вида 3), которое, как указано, сводится к Н. в. вида 1) или 2). Так как {f (x)} g (x) = eu (x), то, найдя предел u (х) (если он существует), можно найти и предел данного Н. в. Например, для xx при x → 0 имеем

и, следовательно,

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973.

Раскрытие неопределённости         
(математической)

нахождение предела (когда он существует) неопределённого выражения (См. Неопределённые выражения).

Раскрытие неопределённостей         
Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

Wikipédia

Раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь 0 {\textstyle 0}  — бесконечно малая величина, {\displaystyle \infty }  — бесконечно большая величина, 1 — бесконечно близкое к числу 1 выражение)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов (   0 0 ) {\displaystyle \left(~0^{0}\right)} , ( 1 ) {\displaystyle \left(1^{\infty }\right)} , ( 0 ) {\displaystyle \left(\infty ^{0}\right)} пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

(   0 0 ) = ( e 0 ln 0 ) = ( e 0 ( ) ) {\displaystyle \left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty )}\right)}
(   1 ) = ( e ln 1 ) = ( e 0 ) {\displaystyle \left(~1^{\infty }\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1}}\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\right)}
(   0 ) = ( e 0 ln ) = ( e 0 ) {\displaystyle \left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\right)}

Для раскрытия неопределённостей типа {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}} используется следующий алгоритм:

  1. Выявление старшей степени переменной;
  2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа ( 0 0 ) {\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)} существует следующий алгоритм:

  1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
  2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа ( ) {\displaystyle (\infty -\infty )} иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть f ( x ) x a {\displaystyle f(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty } и g ( x ) x a {\displaystyle g(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty } ;
lim x a [ f ( x ) g ( x ) ] = ( ) = lim x a ( 1 1 f ( x ) 1 1 g ( x ) ) = lim x a 1 g ( x ) 1 f ( x ) 1 g ( x ) 1 f ( x ) = ( 0 0 ) {\displaystyle \lim _{x\to a}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim _{x\to a}\left({\frac {1}{\frac {1}{f(x)}}}-{\frac {1}{\frac {1}{g(x)}}}\right)=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{{\frac {1}{g(x)}}\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left({\frac {0}{0}}\right)} .

Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.