(жорда́нова)
С каждой квадратной матрицей (См.
Матрица)
связан целый класс
матриц, подобных матрице
А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин "Н. (ж.) ф. м." связан с именем К.
Жордана]. На
схеме показана жорданова
форма некоторой матрицы 8-го порядка:
(1)
Вдоль главной диагонали расположены специальные квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке λ
1, во второй λ
2 и т.д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведённой схеме имеются три диагональные клетки, из которых первая имеет порядок 4, вторая и третья - порядок 2. В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел λ
1, λ
2,... возможны и равные. Исходная матрица
А в указанном примере имеет следующие
Элементарные делители: (λ - λ
1)
4, (λ - λ
2)
2, (λ - λ
3)
2. По элементарным делителям матрицы однозначно определяется её жорданова
форма.
Если матрица А имеет жорданову форму I, то существует неособенная матрица Т такая, что А = TIT-1. Замену матрицы А подобной ей матрицей I называют приведением матрицы А к нормальной жордановой форме.
Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
..............................................
в матричной записи:
Введём новые неизвестные функции
y1, у2,...
yn при помощи неособенной ìàòðèöû
[
tik - ÷èñëà (
i,
k = 1, 2, ..., n)]:
,
,
...........................................
;
в матричной записи:
х = Ту.
Подставляя это выражение для x в (2), получим:
где матрица I связана с матрицей А равенством:
А=TIT-1.
Обычно матрицу
Т подбирают так, чтобы матрица
А имела жорданову форму. В этом случае система уравнений (3) значительно проще системы (2). Так, например, при
n = 8, если матрица
имеет жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид:
,
,
,
,
,
,
,
.
Интегрирование такой системы сводится к многократному интегрированию одного дифференциального уравнения.
Жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка (1).