раздел математики, возникший при применении методов математической логики в алгебре. Ко 2-й половине 20 в. М. т. оформилась в самостоятельную дисциплину, методы и результаты которой находят применение как в алгебре, так и в др. разделах математики.

Основные понятия М. т. - понятия алгебраической системы, формализованного языка, истинности высказывания рассматриваемого языка в данной алгебраической системе. Типичным примером алгебраической системы является система натуральных чисел вместе с операциями сложения и умножения, отношением порядка и выделенными элементами 0, 1. Простейшие высказывания об этой системе - высказывания типа: "х + у = z при х = 2, у = 3, z = 5", "x у = z при х = 4, у = 2, z = 8", "x < у при х = 2, у = 3". Из простейших высказываний более сложные получаются при помощи пропозициональных связок "и", "или", "если..., то...", "не", а также кванторов "для каждого x...", "существует такое х, что...". Например, утверждение, что числа u и v взаимно просты, более подробно записывается в виде: "для каждых х, у и z, если u = х · у и v =х · z, то x = 1" и, значит, получается из простейших при помощи пропозициональных связок и кванторов.

В общем случае под алгебраической системой понимается непустое множество вместе с заданными на этом множестве совокупностями отношений и операций от конечного числа аргументов. Эти операции и отношения называются основными в алгебраической системе. Каждой такой операции и каждому такому отношению ставится в соответствие определённый символ. Набор Ω этих символов называется сигнатурой алгебраической системы. Обычно изучаются классы алгебраических систем одной сигнатуры.

Важнейшим из формализованных языков является язык 1-й ступени. Алфавит этого языка состоит из набора Ω символов отношений и операций; знаков &, V, →, ⌉, ∀, ∃, обозначающих пропозициональные связки и кванторы (см. ниже); набора символов, называемых предметными переменными, а также скобок и запятой. При этом каждому символу отношения или операции приписывается натуральное число, называемое местностью этого символа; оно равно числу аргументов той операции или того отношения, которым соответствует рассматриваемый символ. В число символов отношений включается специальный символ = для отношения равенства. Индуктивно определяются понятия терма и формулы. Предметные переменные являются термами. Если f - символ n-местной операции, а про g₁, ..., g_n уже известно, что они термы, то f(g₁, ..., g_n) есть тоже терм. Простейшие формулы - выражения вида P(g₁, ... , g_n), где Р есть n-местный символ отношения, а g₁, ..., g_n - термы. Более сложные формулы получаются из простейших с помощью конечного числа связываний их знаками кванторов и пропозициональных связок. Символы предметных переменных, встречающиеся в формуле, разделяются на свободные и связанные. Связанные те, которые находятся в области действия квантора по этому переменному, а остальные свободные. Например, в формуле

(∀x) (∃y) (f(x, у) = z V f(x, у) = u)

свободными являются z и u, а х и у связаны кванторами. Формулы без свободных переменных называются высказываниями. Каждая формула со свободными переменными x₁, ..., x_n на каждой алгебраической системе А сигнатуры Ω определяет n-местное отношение. Например, формула, записывающая утверждение, что числа u и v взаимно простые, определяет на натуральных числах отношение взаимной простоты, которое для пары (3, 5) истинно, а для пары (2, 4) ложно. Для простейших формул соответствующее отношение фактически задаётся самой системой А. Для более сложных формул соответствующее отношение определяется путём интерпретации кванторов и пропозициональных связок: (Ф₁ & Ф₂) интерпретируется как "Ф₁ и Ф₂", (Ф₁ V Ф₂) - как "Ф₁ или Ф₂", (Ф₁ → Ф₂) - как "если Ф₁, то Ф₂", ⌉Ф - как "неверно, что Ф", (∃x)Ф - как "для всех хФ", (∃х)Ф - как "существует х, для которого Ф". Согласно этому определению, каждое высказывание в каждой алгебраической системе соответствующей сигнатуры либо ложно, либо истинно. Например, если символу f ставится в соответствие операция сложения на натуральных числах, то формула (∀x) f(x, х) = f (f(x, х), х), утверждающая, что 2x = 3х для всех х, ложна на натуральных числах, а формула (∀x (f(x, x) = x → f(x, х) = f(f(x, х), х)), утверждающая, что если 2x = х, то 2x = 3х, истинна. Алгебраическая система А называется моделью данного множества Σ высказываний, если каждое высказывание из Σ истинно в А. Класс К алгебраических систем называется аксиоматизируемым, если К есть совокупность всех моделей некоторого множества высказываний. Многие важные классы алгебраических систем, например классы групп, колец, полей, аксиоматизируемы.

Изучение общих свойств аксиоматизируемых классов - важная часть М. т. Во многих случаях по форме высказываний из Σ удаётся судить о некоторых алгебраических свойствах класса всех моделей Σ. Например, тот факт, что гомоморфные образы и прямые произведения групп снова оказываются группами, есть следствие того, что класс групп может быть определён как совокупность всех моделей такой совокупности высказываний Σ, что каждое высказывание из Σ имеет вид (∀x₁)... ... (∀x_n)f = g, где f, g - термы.

Фундаментальный результат М. т. - локальная теорема Мальцева (1936), согласно которой если каждая конечная подсовокупность совокупности Σ высказываний имеет модель, то и Σ имеет модель. А. И. Мальцев нашёл многочисленные применения своей теоремы для доказательства т. н. локальных теорем алгебры.

Важным фактом в теории аксиоматизируемых классов является теорема Лёвенхейма - Сколема: всякий аксиоматизируемый класс конечной или счетной сигнатуры, содержащий бесконечные системы, содержит и счётную систему. В частности, нельзя написать такую совокупность высказываний, все модели которой были бы изоморфны одной бесконечной алгебраической системе, например полю комплексных чисел или кольцу целых чисел. Но тем не менее существуют аксиоматизируемые классы, все системы которых данной бесконечной мощности изоморфны.

Одной из важных конкретных совокупностей высказываний является совокупность, определяющая понятие множества. Это понятие описывается на языке 1-й ступени, сигнатура которого состоит из одного символа - символа бинарного отношения, интерпретируемого как "х есть элемент y". Существует несколько вариантов таких описаний, каждый из которых осуществляется при помощи своей совокупности высказываний. Эти совокупности называются системами аксиом для теории множеств. Развитие М. т. показало, что нельзя выбрать такую систему аксиом для теории множеств, которая удовлетворила бы все потребности математики (см. также Аксиоматическая теория множеств).

Центральная часть современной М. т. - это изучение элементарных теорий, т. е. теорий, описываемых на языке 1-й ступени. Однако постепенно всё возрастающее место отводится и изучению теорий, описываемых при помощи более богатых языков.

Историческая справка. Основные понятия М. т. возникли в математике в 19 в., главным образом в работах по основаниям геометрии. К понятию модели данного множества высказываний вплотную подошёл Н. И. Лобачевский в работах по геометрии. В полной мере оно появилось в работах Э. Бельтрами и Ф. Клейна, построивших модели геометрии Лобачевского. Современной формулировки основных понятий М. т. сложились в работах школ Д. Гильберта и А. Тарского (См. Тарский). М. т. возникла в начале 30-х гг. 20 в. в результате применения методов математической логики в алгебре, одним из инициаторов которого был А. И. Мальцев.

Лит.: Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; Робинсон А., Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры, пер. с англ., М., 1967.

А. Д. Тайманов, М. А. Тайцлин.

публичные демонстрации достижений в области материальной и духовной деятельности человека.

Современные В., независимо от разнообразия их наименований и организационных форм, можно подразделить: а) по целям проведения - на торговые, которые организуются в основном с коммерческой целью; просветительно-познавательные (художественные, научно-технические, достижений в области промышленности, транспорта и т.п.), не преследующие, как правило, коммерческих целей; б) по периодичности проведения - на регулярно проводимые (ежегодно, через год, два и т.п.); нерегулярные, организуемые в связи с юбилейной датой, конгрессами, съездами или по случаю других событий, и на постоянно действующие (например, Выставка достижений народного хозяйства СССР); в) по содержанию представленных экспонатов - на универсальные, где демонстрируются продукция и достижения всех отраслей экономики, науки, техники и культуры, и специализированные, охватывающие одну или несколько смежных отраслей промышленности, сельского хозяйства, искусства и т.п.; г) по составу участников - на всемирные, международные, национальные и региональные.

Первые В. в Европе были организованы в конце 16 в. и имели чисто показательно-демонстрационные цели (собрание работ учеников средневековых монастырских школ, ремесленных мастерских). С развитием капиталистических отношений В. постепенно приобретают коммерческий характер. С возникновением капиталистических предприятий - мануфактур, появлялись местные торговые В., где демонстрировалась их продукция (ткани, гобелены и др.). Такие В. были организованы в Париже (1763), Дрездене (1765), Берлине (1786), Мюнхене (1818), Манчестере (1843). Роль В. возросла в период перехода от мануфактур к машинному производству, особенно в связи с промышленным переворотом (последняя треть 18 в.) и образованием общенациональных капиталистических рынков. Наряду с чисто коммерческими целями В. начали служить и целям показа технических достижений. С 60-х гг. 18 в. появились большие общенациональные торгово-промышленные В. Первые из них - в Лондоне (1761, 1767), Мюнхене (1788), Петербурге (1829). На В. заключались торговые сделки, устанавливались деловые связи. Общенациональные В. не потеряли до сих пор своего значения и проводятся регулярно в большинстве стран мира. Национальные В. за рубежом устраиваются на основе договорённости между странами и носят различный характер. Некоторые национальные торговые В. организуются в виде торговых центров (например, торговые центры США в Лондоне, Милане, Стокгольме, Париже, Токио и других городах); в виде демонстрационных залов (например, советские залы на В. в социалистических странах, в Ираке, Индии и др.). Часто национальные торговые В. устраиваются в виде выставок-продаж - "Универсальные магазины" и "Недели страны-устроителя". Великобритания регулярно проводит "Британские недели" в странах Европы, Азии, Америки и Австралии. Много национальных специализированных и универсальных В. проводится эпизодически. Например, английская торгово-промышленная В. в Москве (1961), В. научно-технических достижений СССР в Будапеште (1967), торгово-промышленная В. СССР в Париже (1970) и др. С 1946 по 1969 СССР провёл 92 национальные В. за рубежом (универсальные и специализированные), в том числе 29 в странах социализма. За этот же период в СССР было организовано 620 зарубежных национальных В., включая 25 универсальных и около 300 специализированных В. социалистических стран.

Развитие в 19 в. крупного капиталистического производства ускорило рост международных экономических связей и создание мирового капиталистического рынка. В этот период возросла роль В. в содействии развитию торговли не только в общенациональном, но и в международном масштабе.

Великобритания, занимавшая ведущее положение в промышленности и торговле капиталистических стран, в целях пропаганды принципа свободы международной торговли устроила в Лондоне в 1851 первую международную промышленную В. В 1850-90 международные В. главным образом общеотраслевого торгово-промышленного характера организовывались в различных городах Европы: Мюнхене (1854), Амстердаме (1883), Ницце (1884), Антверпене (1885), Барселоне (1888), Гамбурге (1889).

В условиях дальнейшего прогресса науки и техники, расширения и специализации капиталистического производства всё большую роль начинают играть международные специализированные торговые В., которые в 20 в. постепенно стали вытеснять общеотраслевые. Международный характер торговых В. определяется обычно количеством участвующих в них иностранных экспонентов и эффективностью коммерческих сделок. Необходимо также, чтобы правительство страны, в которой организуется В., признавало её "международной". Организаторами их являются специально созданные для этой цели, признанные властями стран-устроителей постоянно действующие органы: дирекции, торговые палаты, торгово-промышленные ассоциации и т.п. Международные торговые В., как правило, имеют определённую периодичность проведения (ежегодно, через год и т.п.). Их продолжительность обычно не превышает трёх недель. Проводятся они на постоянной выставочной территории в одно и то же время и в одном и том же городе. Наиболее крупные из них: международная с.-х. В. (Венгрия), В. по садоводству (ГДР), В. мебели (Великобритания), В. текстильной промышленности и одежды "ТЕКСТИРАМА" (Бельгия), международный салон пластмасс, резины и каучука "ЕВРОПЛАСТИК" (Франция), В. упаковки "СКАНПЭК" (Швеция) и др. К участию в международных торговых В. допускаются промышленные и оптовые торговые фирмы и организации. Заключаются торговые сделки по демонстрируемым образцам.

Большинство современных международных торговых В. - специализированные. По своим целям, условиям участия и правам, предоставляемым экспонентам, они аналогичны современным международным ярмаркам. В. носят различные названия, например, во Франции - салоны и ярмарки, в Италии - салоны, В. и ярмарки, в ФРГ - ярмарки и В., в европейских социалистических странах - В. и ярмарки.

Международные торговые В. содействуют развитию мировой торговли. СССР придаёт большое значение этой форме международных торговых связей. До Великой Отечественной войны 1941-45 СССР принял участие в международной торговой В. в Тегеране (1923), Париже (1928, 1929), Ходейде (Йемен, 1931), Гамбурге (1931, 1932, 1934), Лейпциге (1922, 1923, 1924, 1925, 1926, 1927, 1929, 1930, 1931, 1932, 1933, 1940, 1941), Анкаре (1929), Стамбуле (1932), Токио (1931), Филадельфии (1938), Варне (1940), Кенигсберге (1931, 1933, 1940) и др. 2-я мировая война 1939-45 нарушила работу большинства международных торговых В. С возобновлением их деятельности после войны Советский Союз становится не только их активным участником (в Бомбее, 1952; Эрфурте, 1961; Париже, 1947, 1951; Женеве, 1960; Каире, 1961; Оклахоме, 1957; Лондоне, 1954; Хайдарабаде, 1956 и др.), но и организатором крупных международных торговых В. на своей территории. В 1964-1971 в СССР было проведено 16 международных В. Среди них: В. строительных и дорожных машин, средств механизации строительно-монтажных работ (Москва, 1964), "Химия в промышленности, строительстве и сельском хозяйстве" (Москва, 1965), "Современные с.-х. машины и оборудование" (Москва, 1966), "Птицеводство-66" (Киев, 1966), "Инпродмаш-67" (Москва, 1967), "Одежда-67" (Москва, 1967), "Интербытмаш-68" (Москва, 1968), "Инрыбпром-68" (Ленинград, 1968), "Инполиграфмаш-69" (Москва, 1969), "Инлегмаш-70" (Москва, 1970), "Химия-70" (Москва, 1970), "Инторгмаш-71" (Москва, 1971) и др. См. также Выставки всемирные, Выставки художественные, Выставки сельскохозяйственные.

Со 2-й половины 19 в. постепенно складывались принципы выставочной экспозиции (См. Экспозиция), эволюционировавшие от простой демонстрации экспонатов до размещения их по детально разработанной программе, с использованием специального оборудования, средств архитектуры и оформительского искусства.

Архитектура выставок. Первоначально под В. приспосабливались существующие крупные сооружения (дворцы, манежи и др.) с обширными помещениями или одним большим многосветным залом (например, мануфактурная выставка 1831 в зале Благородного собрания в Москве). Иногда при большом количестве экспонатов к основному сооружению пристраивались дополнительные временные помещения (деревянные галереи у Михайловского манежа в Петербурге на 3-й с.-х. выставке 1860). Появление международных промышленных выставок вызвало во 2-й половине 19 в. строительство специальных выставочных павильонов большой площади, с обширным, легко обозреваемым и максимально освещённым внутренним пространством; сами здания также являлись экспонатами, демонстрировавшими успехи строительной техники: "Хрустальный дворец" в Лондоне (1-я Всемирная выставка, 1851, инженер Дж. Пакстон), "Галерея машин" на Всемирной выставке 1889 в Париже (архитектор Ф. Л. Дютер). Позже павильоны становятся частью обширного выставочного комплекса, включающего открытые экспозиционные площадки, зелень и водоёмы (Всероссийская сельскохозяйственная и кустарно-промышленная выставка 1923 в Москве, главный архитектор А. В. Щусев; всемирные выставки в Париже 1937, Нью-Йорке 1939, Брюсселе 1958, Монреале 1967, Осаке 1970); от строительства временных павильонов перешли к сооружению капитальных зданий [ВСХВ в Москве 1939 (главный архитектор В. К. Олтаржевский) и 1954, преобразованная в Выставку достижений народного хозяйства СССР]. Наряду с выставочными комплексами ("павильонная композиция") создаются отдельные централизованные или блочные здания для выставок, многократно используемые для экспозиции. Централизованные павильоны могут быть одноэтажными, зального типа, с нерасчленённым внутренним пространством без опор, в основном для показа тяжёлого промышленного оборудования (главный зал Дворца выставок в Турине, 1948-50, инженер П. Л. Нерви), либо иметь единый наружный объём и промежуточные опоры в интерьере (Дворец труда в Турине, 1961, инженеры П. Нерви и А. Нерви), либо иметь внутреннее пространство, расчленённое по вертикали и горизонтали (выставочное здание в Вильнюсе, 1966, архитектор В. А. Чеканаускас). Павильоны блочного типа включают несколько объёмов с помещениями различного функционального назначения (павильон в парке Сокольники в Москве, 1961, архитектор В. С. Виленский и др.).

Лит.: Платова Н. С., Справочник по международным и национальным выставкам и ярмаркам в Великобритании, М., 1968; Павлов К. А., Международные ярмарки и выставки, М., 1962; Червяков П. А., Организация и техника внешней торговли СССР, 2 изд., М., 1962; Воронов К. Г. и Павлов К. А., Организация и техника внешней торговли СССР, М., 1966.

Д. М. Серов, В. И. Ревякин.