En matemáticas, las constantes de Stieltjes ${\displaystyle \gamma _{k}}$ son los coeficientes de la expansión en serie de Laurent de la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}}$

Las constantes de Stieltjes se definen por el siguiente límite

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {\ln ^{n}k}{k}}\right)-{\frac {\ln ^{n+1}m}{n+1}}\right]}}$

(En el caso n = 0, el primer sumando requiere la evaluación de 0⁰, que se toma como 1.)

La fórmula integral de Cauchy nos da la siguiente representación integral:

${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.}$

Para el caso n = 0, se recupera la constante de Euler-Mascheroni ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577...}$.

Una aproximación de las primeras constantes viene dada por la siguiente tabla: