Diclib.com
Словарь ChatGPT

Поиск в словаре Индивидуальные решения

Введите слово или словосочетание на любом языке 👆

Язык:

Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT

На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:

как употребляется слово
частота употребления
используется оно чаще в устной или письменной речи
варианты перевода слова
примеры употребления (несколько фраз с переводом)
этимология

Что (кто) такое Аксиоматическая теория множеств - определение

РАЗДЕЛ МАТЕМАТИКИ

Наивная теория множеств; Теория множеств Кантора; Множеств теория; Дескриптивная теория множеств; История теории множеств; Канторовская теория множеств; Аксиоматическая теория множеств; Аксиоматика теории множеств; Интуитивная теория множеств

$Декартово произведение <math>\{x,y,z\} \times \{1,2,3\}</math>$
$Представление порядковых чисел до <math>\omega^\omega</math>$

Аксиоматическая теория множеств

формулировка множеств теории (См. Множеств теория) в виде формальной (аксиоматической) системы (см. Аксиоматический метод). Основным побудительным стимулом для построения А. т. м. явилось открытие в "наивной" теории множеств Г. Кантора. предназначенной для обоснования классической математики, Парадоксов (антиномий), т. е. противоречий. Все эти парадоксы (например, парадокс Кантора, связанный с рассмотрением "множества всех множеств", или парадокс Рассела, в котором рассматривается "множество всех множеств, не содержащих самих себя в качестве элемента") обусловлены неограниченным применением в канторовой теории множеств т. н. принципа свёртывания (или абстракции), согласно которому для всякого свойства существует множество, состоящее из всех предметов, обладающих этим свойством (этот принцип фактически содержится уже в первой фразе всех традиционных изложений теории множеств: "мы будем рассматривать произвольные множества элементов произвольной природы" и т.п.).

В первой из известных систем А. т. м. - системе Цермело - Френкеля, или ZF (сформулирована в 1908 Э. Цермело, пополнена в 1921 - 22 и позже А. Френкелем), принцип свёртывания заменяется несколькими его частными случаями: аксиомой существования пары {х,у} любых (данных) множеств х и у, аксиомой существования объединения всех элементов произвольного множества х в новое множество S (x), аксиомой существования множества Р(х) всех частей произвольного множества х, аксиомой существования бесконечного множества и т.н. схемами аксиом выделения (согласно которой для всякого множества х и свойства р существует множество элементов х, обладающих свойством φ) и подстановки (утверждающей, что для любого взаимно однозначного отображения элементов множества х, описываемого на языке системы ZF, существует множество таких z, на которые отображаются эти элементы х). Не подпадает под схему принципа свёртывания т. н. аксиома выбора (о существовании "множества представителей", т. е. множества содержащего в точности по одному элементу из каждого из данных непустых попарно непересекающихся множеств). Как и во всякой другой системе А. т. м., в ZF постулируется также аксиома объёмности (экстенсиональности), согласно которой множества, состоящие из одних и тех же элементов, совпадают. Иногда к ZF присоединяют некоторые др. аксиомы более специального назначения. Формулы ZF получаются из "элементарных формул" вида х ∈ у ("x принадлежит y") средствами исчисления предикатов (См. Исчисление предикатов).

Позднее были построены многочисленные видоизменения ZF и систем, отличающихся от ZF тем, что "плохие" (приводящие к парадоксам) совокупности элементов не вовсе исключаются из рассмотрения, а признаются "собственно классами", т. е. множествами, не могущими принадлежать в качестве элемента другим множествам (эта идея, идущая от Дж.Неймана, была затем развита швейцарским математиком П. Бернайсом, К.Гёделем (См. Гёдель) и др.). Системы эти, в отличие от ZF, могут быть заданы посредством конечного числа аксиом.

Другой подход к А. т. м. воплощён в теории типов Б. Рассела и А. Н. Уайтхеда (Англия, 1910-13) и её различных модификациях, в которых на аксиому свёртывания не накладывают типичных для ZF и др. систем ограничений, но реформируют сам язык теории: вместо одного алфавита переменных х, у, z... вводится бесконечная последовательность алфавитов: x₁, y₁, z₁,...; x₂, y₂, z₂,...;...; x_n, y_n, z_n,...;... различных "типов" n, а элементарные формулы имеют вид x_n∈y_n+1 или

x_n = y_n. Теории типов строятся на основе исчисления предикатов с различными видами переменных [а при естественной замене символики x_n∈y_n+1 на y_n+1(x_n) и x_n = y_n на x_n Аксиоматическая теория множеств y_n сами могут рассматриваться как системы расширенного исчисления предикатов, а не теории множеств]. В системе NF (New Foundation), введённой в 1937 американским математиком У. в. О. Куайном, комбинируются оба упомянутых подхода: язык NF - тот же, что в ZF, а аксиомы свёртывания должны получаться из аксиом теории типов удалением индексов при переменных.

Для различных систем А. т. м. и отдельных их аксиом рассматривался вопрос об их (относительной) непротиворечивости (См. Непротиворечивость). В 1940 К. Гёдель доказал относительную непротиворечивость аксиомы выбора и континуум-гипотезы (см. Континуума проблема) для описанной им системы ∑ и ZF; в дальнейшем этот результат был перенесён на теорию типов (самую слабую из перечисленных систем), а затем и на NF (в соответствующей форме). В 1963 американский математик П. Дж. Коэн доказал для ZF (а тем самым и для ∑ ) относительную непротиворечивость отрицания континуум-гипотезы, в т. ч. и в случае, если к ZF присоединена аксиома выбора. Он же доказал, что к ZF можно присоединить без возникновения противоречия аксиому о том, что континуум не может быть вполне упорядочен (из этой аксиомы сразу следует отрицание аксиомы выбора).

Упомянутых ограничений на принцип свёртывания (или на язык системы) достаточно, чтобы в А. т. м. не возникал ни один из известных парадоксов. Однако проблема абсолютной непротиворечивости, ввиду теоремы Гёделя о неполноте (см. Метатеория), требует привлечения существенно новых идей. В частности, полученное в 1960 доказательство непротиворечивости ZF (и теории типов, но не NF) потребовало привлечения средств т. н. ультраинтуиционизма.

Лит.: Гёдель К., Совместимость аксиомы выбора и обобщённой континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, пер. с англ., "Успехи математических наук", 1948, т. 3, в. 1; Есенин-Вольпин А. С., К обоснованию теории множеств, в сборнике: Применение логики в науке и технике, [М., I960], с. 22 - 118; Френкель А. А. и Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966 (библ.); Коэн П. Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; Quine W. О. van, Set theory and its logic, Camb., 1963.

Ю. А. Гастев, А. С. Есенин-Вольпин.

Дескриптивная теория множеств

часть теории множеств, изучающая строение более сложных точечных множеств с точки зрения их образования путём известных операций (объединение, пересечение, проекция и т. д.) из других, более простых точечных множеств. См. Множеств теория.

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ

раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества - простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т. д. То, что данный предмет (элемент, точка) х принадлежит множеству М, записывают х О М. М. т. лежит в основе многих математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Об относящихся сюда понятиях см. Подмножество, Объединение множеств, Пересечение множеств, Пустое множество, Счетное множество, Континуум.

Википедия

Теория множеств

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств.

Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стал широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах. Однако использование теории множеств для логически безупречного построения математических теорий осложняется тем, что она сама нуждается в обосновании своих методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности, при переходе на точку зрения общей теории множеств приобретают лишь бо́льшую остроту.

Начиная со второй половины XX века представление о значении теории и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования её аппарата, в частности, с использованием теоретико-категорного инструментария (средствами которого в теории топосов обобщены практически все варианты теории множеств). Тем не менее нотация теории множеств стала общепринятой во всех разделах математики вне зависимости от использования теоретико-множественного подхода. На идейной основе теории множеств в конце XX века создано несколько обобщений, в том числе теория нечётких множеств, теория мультимножеств (используемые в основном в приложениях), теория полумножеств (развиваемая в основном чешскими математиками).

Ключевые понятия теории: множество (совокупность объектов произвольной природы), отношение принадлежности элементов множествам, подмножество, операции над множествами, отображение множеств, взаимно-однозначное соответствие, мощность (конечная, счётная, несчётная), трансфинитная индукция.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория множеств

Что такое Аксиомат<font color="red">и</font>ческая те<font color="red">о</font>рия мн<font color="re