Геодезическая теория и практика в значительной степени сосредоточены на измерении силы тяжести.

Измерительные устройства. Наиболее распространенный прибор для измерения силы тяжести - гравиметр, используемый для относительных измерений, т.е. разности значений силы тяжести в двух пунктах. Основным элементом гравиметра является горизонтальное коромысло, на одном конце которого размещен груз, а на другом находится опора, относительно оси которой коромысло может поворачиваться под действием наклонно расположенной пружины. Один конец пружины крепится к коромыслу вблизи точки размещения груза, второй - к жесткому элементу корпуса прибора. Если в каком-либо пункте указатель шкалы прибора, связанный с положением груза, стоит на нуле, то в другом пункте в связи с изменением силы тяжести (и, соответственно, положения груза) показание на шкале прибора будет отличаться от нуля. Это показание шкалы и определяет разность значений силы тяжести между двумя пунктами. Достоинствами таких гравиметров являются малые размеры и высокая точность (до 0,02 миллигала, мГал).

Для получения действительного значения ускорения силы тяжести в любом пункте относительные измерения в заданном пункте связывают с данными абсолютных измерений силы тяжести в этом пункте с помощью баллистического гравиметра, в котором измеряется время падения тела под действием силы тяжести. Расстояние, пройденное этим телом в процессе падения, измеряется лазерным интерферометром, а время падения - высокоточным электронным устройством. Точность измерения баллистическими гравиметрами достигает 0,01 мГал. Для проведения абсолютных измерений силы тяжести требуется большое количество вспомогательного оборудования, поэтому их нецелесообразно проводить при обычных геодезических съемках. Большинство баллистических гравиметров размещается в стационарных лабораториях, однако существуют и транспортабельные устройства, имеющие приемлемые уровни точности измерения.

Международная гравиметрическая стандартная сеть по состоянию на 1971 включала 10 гравиметрических станций для абсолютных измерений и 1854 пункта для относительных измерений силы тяжести. Эта сеть является основой для проведения большого количества региональных гравиметрических съемок с точностью 0,1-0,2 мГал. Хотя статические гравиметры позволяют получить наиболее точные значения, их использование в полевых условиях требует значительных затрат труда и времени.

Применение гравиметров на подвижных основаниях затруднено главным образом тем, что прибор не способен ощутить разницу между ускорением силы тяжести и возникающим при этом инерционным (кинематическим) возмущающим ускорением (например, вследствие вертикальных перегрузок при движении автомобиля, корабля или самолета). Тем не менее существуют подобные системы, способные обеспечить точность гравиметрических измерений порядка нескольких миллигал. В них используются усовершенствованные наземные гравиметры либо комплекты акселерометров, измеряющих величину ускорения по всем направлениям. Кинематическая составляющая ускорения вычитается из общего значения, для чего система осуществляет постоянное дифференцирование пройденного расстояния по времени, а полученные скорости после последующего дифференцирования дают искомые значения ускорений. Кроме того, появляется возможность ввести поправки на действие таких редко учитываемых факторов, как ускорение Кориолиса и центростремительное ускорение.

Для успешного функционирования транспортабельных гравиметрических устройств необходимо использовать высокоточные современные системы навигации. В аэрогравиметрических съемках обычно используются бортовые радиолокационные системы с радиолокационными или лазерными альтиметрами (высотомерами). Для достижения необходимой точности учитываются также данные, полученные со спутниковой системы GPS. При измерении градиента силы тяжести (величины изменения ускорения силы тяжести на очень малых расстояниях) обычно пренебрегают учетом положения и ускорения самого аппарата-носителя, однако при этом используются более сложные измерительные приборы. Существующие мобильные системы проведения гравиметрических измерений либо находятся в стадии опытной разработки, либо (как в случае гравиметрической системы, размещаемой на вертолете) используются исключительно в геофизических исследованиях.

Важную роль в совершенствовании измерений параметров гравитационного поля Земли сыграло использование радиолокационных альтиметров, размещаемых на борту орбитальных спутников. В принципе, спутниковая альтиметрия достаточно проста: расстояние от спутника до поверхности океана определяется с помощью электронных устройств, измеряющих время, за которое радиоволны проходят это расстояние и обратный путь до бортового приемного устройства после отражения от поверхности океана. Скорость распространения сигнала, умноженная на половину полученного временнго отрезка, дает искомое значение высоты. Уровень поверхности океана (приблизительно соответствующий поверхности геоида) относительно центра Земли или относительно поверхности некоего эллипсоида рассчитывается как разность между высотой орбиты спутника (которая постоянно определяется расположенными вокруг земного шара станциями слежения) и значениями измеренной высоты полета спутника над поверхностью океана. Таким образом, при использовании спутниковой системы измерений для определения высотного положения поверхности океана (геоида) на значительной части его площади потребуется несколько месяцев. Поскольку ок. 70% общей площади поверхности Земли приходится на океан, значительная часть ранее не известных данных о гравитационном поле Земли (аппроксимированной в виде геоида) была получена в процессе первых же витков полета специализированного спутника.

Если же известна конфигурация конкретной границы (в данном случае уровенной поверхности) поля силы тяжести, то определение значений силы тяжести становится чисто математической задачей. Первые спутниковые альтиметры имели точность ок. 1 м, а более современные - несколько сантиметров. Основное ограничение точности измерений при использовании спутниковой альтиметрии определяется параметрами горизонтального разрешения при сканировании поверхности океана и высокой скоростью движения спутника. Еще одно ограничение налагает неполнота наших знаний об изменении скорости распространения электромагнитных волн в различных слоях атмосферы. Чтобы воспользоваться преимуществами высокой точности, которую дают современные альтиметры, необходимо добиться сопоставимой точности в определении орбиты спутника и степени расхождения между поверхностью геоида и поверхностью океана, возмущаемой воздействием ветров, течений, температур и других факторов. Фактически многие полеты спутников, выполнявших альтиметрические наблюдения, специально планировали для получения данных об океанических течениях путем повторных замеров высоты по определенным маршрутам. Поверхность геоида, являющаяся постоянной величиной, при этом исключалась из результатов наблюдений, учитывались только изменения уровня океана по отношению к поверхности геоида, позволяющие судить о течениях и других процессах.

Методика. Гравитационное поле Земли принято разделять на две части: нормальное гравитационное поле и остаточное аномальное поле. В физической геодезии оперируют в основном с аномальным гравитационным полем. Основное преимущество такого подхода состоит в том, что аномальное поле гораздо слабее действительного гравитационного поля Земли и поэтому его характеристики легче определить. Нормальное гравитационное поле характеризуется четырьмя параметрами: общей массой Земли; формой и размерами эллипсоида, наиболее близко соответствующего геоиду в глобальном масштабе; скоростью вращения Земли. Его определение вытекает из условия, что поверхность эллипсоида - это уровенная поверхность в нормальном гравитационном поле, а поверхность геоида представляет собой уровенную поверхность в действительном гравитационном поле (нормальное поле объясняет также существование негравитационной, центробежной, силы, которая возникает вследствие вращения Земли вокруг своей оси). При этом предполагается, что центр нормального эллипсоида (или референц-эллипсоида) совпадает с центром масс Земли. В любой точке разность высот геоида и референц-эллипсоида, называемая ондуляцией геоида, прямо пропорциональна возмущающему потенциалу (потенциал силы тяжести - одна из важнейших характеристик гравитационного поля Земли). Таким образом, определение аномального гравитационного поля (путем гравиметрических измерений) позволяет определить положение поверхности геоида по отношению к эллипсоиду и отсюда - форму Земли. Если нам известна форма геоида, то известно и направление силы тяжести, которое в каждой точке перпендикулярно к поверхности геоида. Следовательно, можно найти уклонение отвесной линии, т.е. угол между направлением силы тяжести и перпендикуляром к поверхности эллипсоида.

В математической физике существуют т.н. граничные, или краевые задачи, формулируемые примерно следующим образом. Если изменения некоторой величины, например возмущающего потенциала, подчиняются какому-то закону и эта величина (или связанная с ней) принимает определенное значение на какой-то граничной поверхности, то можно определить значение этой величины в любой точке пространства. В геодезии сила тяжести определяется прямыми измерениями; таким образом задача состоит в том, чтобы определить возмущающий потенциал на земной поверхности и над ней. Однако в геодезии краевая задача осложняется тем, что граничная поверхность (в данном случае физическая поверхность Земли), определяемая относительно геоида, представляет собой искомую величину, которая определяется в последнюю очередь; поэтому это еще одна неизвестная величина, входящая в задачу. С теоретической точки зрения, это одна из самых трудных проблем в геодезии, для которой получены пока только приближенные решения.

Ирландский математик Дж.Стокс в 1849 первым решил геодезическую краевую задачу при условии, что ускорение силы тяжести известно в любой точке поверхности геоида (рассматриваемой в данном случае как граничная поверхность). Однако, определить силу тяжести на всей земной поверхности очень нелегко, а измерять силу тяжести на поверхности геоида на суше вообще невозможно. Единственно возможное решение состоит в том, чтобы рассчитать ускорение силы тяжести для геоида, используя данные измерений на земной поверхности и вводя поправку за аномалию высоты. Этот метод требует также учета гравитационного воздействия масс земной коры, находящихся между топографической поверхностью и поверхностью геоида.

В конце 1950-х годов советский геодезист М.С.Молоденский нашел решение, пригодное для любой произвольной поверхности (в т.ч. топографической); эта поверхность может быть описана по гравиметрическим данным. Хотя это решение также приближенное, оно представляет шаг вперед, т.к. не требует знания плотностной структуры верхней части земной коры, как это требовалось в решении Стокса. В обоих случаях величина ускорения силы тяжести вблизи той точки, где должна быть определена поверхность геоида, оказывает гораздо более сильное влияние, чем в более удаленных областях. Отсюда следует, что требования к точности измерений силы тяжести в глобальном масштабе могут быть не столь строгими.

Другие аспекты геодезических исследований. Благодаря применению современных приборов и методов измерений появилась возможность вносить коррективы в систему геодезических координат. Однако такие уточнения довольно редки, поскольку система координат должна быть довольно жесткой, и все же в некоторых случаях, например, при изучении землетрясений, гравиметрические и чисто геодезические работы учитывают и временной аспект событий.

В 1960-х годах, когда очень активно велись исследования Луны, большинство задач, связанных с определением местоположения, навигацией и картографированием, решались геодезическими методами. Сейчас совершенно ясно, что методики, разработанные для изучения Земли, могут быть использованы на любой другой планете, хотя конечно, в каждом случае это будет сопряжено со специфическими трудностями.

раздел геодезии, в котором рассматриваются теории и методы использования результатов измерения силы тяжести для решения научных и практических задач геодезии. Основное содержание Г. г. составляют теории и методы определения внешнего поля потенциала W силы тяжести g Земли по измерениям на земной поверхности S и астрономо-геодезическим материалам. Г. г. включает также теорию нивелирных высот и обработку астрономо-геодезических сетей в связи с особенностями гравитационного поля Земли. Обычно из этого поля выделяют правильное и известное поле потенциала U т. н. нормальной Земли сравнения, представляемой в виде уровенного эллипсоида. Центры масс и оси вращения реальной и нормальной Земли совпадают. Основную задачу Г. г. сводят к выводу возмущающего потенциала Т = W - U, который определяют из решения граничных задач математической физики. На земной поверхности Т удовлетворяет граничному условию

где Н - высота над эллипсоидом, γ- сила тяжести в поле U, H_Q - нормальная высота, выводимая из условия, что приращение (gdh потенциала W от начала счёта высот измерено в поле U, dh - элементарное превышение геометрического нивелирования (См. Нивелирование). Для вывода Т разработано несколько методов, которые сводятся к решению соответствующих интегральных уравнений.

В равнинных районах некоторые практические задачи можно решать упрощёнными методами вывода Т и его производных. Эти методы основаны на условии H_Q = 0, вводимом после вычисления разностей g - у (HQ). Такой подход, например, допустим при астрономо-гравиметрическом нивелировании (См. Астрономо-гравиметрическое нивелирование). В этом случае задачи Г. г. будут решены в явном виде замкнутыми формулами. Значение Т на земной поверхности определяет формула Стокса (1849)

R - радиус земной сферы, dσ - её элемент и ψ- дуга большого круга между фиксированной точкой и текущей точкой, в которой задана сила тяжести. Эта формула описывает внешнее гравитационное поле земной сферы. Из неё можно вывести выражение для любого элемента гравитационного поля Земли в равнинных её областях.

Современная Г. г. основана на работах (1945-60) М. С. Молоденского (См. Молоденский) и изучает способы решения граничных задач, условия их разрешимости, плотность и точность необходимых измерений.

Лит.: Молоденский М. С., Юркина М. И., Еремеев В. Ф., Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли, "Тр. Центрального научно-исследовательского института геодезии, аэросъёмки и картографии", 1960, в. 131; Бровар В. В., Магницкий В. А., Шимберев Б. П., Теория фигуры Земли, М., 1961.

М. И. Юркина.

раздел науки об измерении величин, характеризующих Гравитационное поле Земли и об использовании их для определения фигуры Земли, изучения её общего внутреннего строения, геологического строения её верхних частей, решения некоторых задач навигации и др. В перспективе перед Г. стоит задача изучения Луны и планет по их гравитационному полю. В Г. гравитационное поле Земли задаётся обычно полем силы тяжести (См. Сила тяжести) (или численно равного ей ускорения силы тяжести), которая является результирующей двух основных сил: силы притяжения (тяготения (См. Тяготение)) Земли и центробежной силы, вызванной её суточным вращением. Центробежная сила, направленная от оси вращения, уменьшает силу тяжести, причём в наибольшей степени на экваторе. Уменьшение силы тяжести от полюсов к экватору обусловлено также и сжатием Земли. В результате действия обеих причин сила тяжести на экваторе примерно на 0,5\% меньше, чем на полюсах. Изменение силы тяжести вследствие притяжения Луны и Солнца не превосходит нескольких десятимиллионных её долей. Ещё меньше изменения из-за перемещений масс в недрах Земли и масс воздуха. Величины силы тяжести на земной поверхности зависят от фигуры и распределения плотности внутри Земли. Поэтому изучение гравитационного поля Земли доставляет ценный материал для суждений о её фигуре и внутреннем строении, в частности для разведки полезных ископаемых (см. Гравиметрическая разведка).

Определения силы тяжести производятся относительным методом, путём измерения при помощи Гравиметров и маятниковых приборов (См. Маятниковый прибор) разности силы тяжести в изучаемых и опорных пунктах. Сеть же опорных гравиметрических пунктов на всей Земле связана в конечном итоге с пунктом в Потсдаме (ГДР), где оборотными маятниками (См. Оборотный маятник) в начале 20 в. было определено абсолютное значение ускорения силы тяжести (981 274 мгл; см. Гал). Абсолютные определения силы тяжести сопряжены со значительными трудностями, и их точность ниже относительных измерений. Новые абсолютные измерения, производимые более чем в 10 пунктах Земли, показывают, что приведённое значение ускорения силы тяжести в Потсдаме превышено, по-видимому, на 13-14 мгл. После завершения этих работ будет осуществлен переход на новую гравиметрическую систему. Однако во многих задачах Г. эта ошибка не имеет существенного значения, т. к. для их решения используются не сами абсолютные величины, а их разности. Наиболее точно абсолютное значение силы тяжести определяется из опытов со свободным падением тел в вакуумной камере. Успеху опытов способствует прогресс в технике измерений времени и расстояний.

Относительные определения силы тяжести производятся маятниковыми приборами с точностью до нескольких сотых долей мгл. Гравиметры обеспечивают несколько большую точность измерений, чем маятниковые приборы, портативны и просты в обращении. Существует специальная гравиметрическая аппаратура для измерений силы тяжести с движущихся объектов (подводных и надводных кораблей, самолётов). В приборах осуществляется непрерывная запись изменения ускорения силы тяжести по пути корабля или самолёта. Такие измерения связаны с трудностью исключения из показаний приборов влияния возмущающих ускорений и наклонов основания прибора, вызываемых качкой. Имеются специальные гравиметры для измерений на дне мелководных бассейнов, в буровых скважинах. Вторые производные потенциала силы тяжести измеряются с помощью гравитационных вариометров (См. Гравитационный вариометр).

Основной круг задач Г. решается путём изучения стационарного пространственного гравитационного поля. Для изучения упругих свойств Земли производится непрерывная регистрация вариаций силы тяжести (См. Вариации силы тяжести) во времени. Вследствие того, что Земля неоднородна по плотности и имеет неправильную форму, её внешнее гравитационное поле характеризуется сложным строением. Для решения различных задач удобно рассматривать гравитационное поле состоящим из двух частей: основного - называемого нормальным, изменяющегося с широтой места по простому закону, и аномального - небольшого по величине, но сложного по распределению, обусловленного неоднородностями плотности пород в верхних слоях Земли. Нормальное гравитационное поле соответствует некоторой идеализированной простой по форме и внутреннему строению модели Земли (эллипсоиду или близкому к нему сфероиду). Разность между наблюдённой силой тяжести и нормальной, вычисленной по той или иной формуле распределения нормальной силы тяжести и приведённой соответствующими поправками к принятому уровню высот, называется аномалией силы тяжести. Если при таком приведении принимается во внимание только нормальный вертикальный градиент силы тяжести, равный 3086 Этвеш (т. е. в предположении, что между пунктом наблюдения и уровнем приведения нет никаких масс), то полученные таким путём аномалии называются аномалиями в свободном воздухе. Вычисленные так аномалии чаще всего применяются при изучении фигуры Земли. Если при приведении учитывается ещё и притяжение считающегося однородным слоя масс между уровнями наблюдения и приведения, то получаются аномалии, называемые аномалиями Буге. Они отражают неоднородности в плотности верхних частей Земли и используются при решении геологоразведочных задач. В Г. рассматриваются также изостатические аномалии, которые специальным образом учитывают влияние масс между земной поверхностью и уровнем поверхности на глубине, на которую вышележащие массы оказывают одинаковое давление (см. Изостазия). Кроме этих аномалий, в Г. вычисляется ряд других (Прея, модифицированные Буге и пр.). На основании гравиметрических измерений строятся гравиметрические карты с изолиниями аномалий силы тяжести. Аномалии вторых производных потенциала силы тяжести определяются аналогично как разности наблюдённого значения (предварительно исправленного за рельеф местности) и нормального значения. Такие аномалии в основном используются для разведки полезных ископаемых.

В задачах, связанных с использованием гравиметрических измерений для изучения фигуры Земли, обычно ведутся поиски эллипсоида, наилучшим образом представляющего геометрическую форму и внешнее гравитационное поле Земли. В середине 18 в. франц. учёный А. Клеро выяснил закон общего изменения силы тяжести γ с географической широтой φ в предположении, что масса внутри Земли находится в состоянии гидростатического равновесия:

где γ_e - сила тяжести на экваторе, ― отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе, α - сжатие земного эллипсоида, ω -угловая скорость суточного вращения Земли, а - большая полуось Земли. Определив ω и а из астрономических и геодезических наблюдений и измерив силу тяжести на различных широтах, на основе приведённых формул выводится сжатие Земли α. Английский учёный Дж. Стокс в середине 19 в. обобщил вывод Клеро, показав, что если задать форму уровенной поверхности, направление оси и скорость суточного вращения Земли и общую массу, заключённую внутри уровенной поверхности с любым распределением плотности, то потенциал силы тяжести и его производные однозначно определяются во всём внешнем пространстве. Для решения обратной задачи - по заданному полю силы тяжести определить уровенную поверхность, частным случаем которой является Геоид, - Стокс вывел формулу, позволяющую вычислять высоты геоида относительно эллипсоида при условии знания распределения силы тяжести по всей Земле. Теория и опыт показывают, что геоид близок к эллипсоиду, его отступления не превышают десятков метров. Голландский учёный Ф. Венинг-Мейнес вывел формулу для определения отклонений отвеса (См. Отклонение отвеса) по аномалиям силы тяжести. На смену теориям Клеро и Стокса в середине 40-х гг. 20 в. пришла теория физической поверхности Земли, идея которой впервые была сформулирована сов. учёным М. С. Молоденским. Его теория свободна от гипотез о распределении масс под поверхностью наблюдения. Она позволяет вычислять интересующие элементы гравитационного поля Земли с любой необходимой точностью, определяемой только точностью измерений, проводимых на земной поверхности. Вместо геоида используется близкая к нему вспомогательная поверхность, называемая квазигеоидом.

Гравиметрические измерения используются для изучения неоднородностей плотности в верхних частях Земли с геологоразведочными целями. На основании анализа аномалий силы тяжести делаются качественные заключения о положении масс, вызывающих аномалии, а при благоприятных условиях проводятся количественные расчёты. Гравиметрический метод позволяет более рационально направить бурение и геологоразведочные работы. Он помогает исследовать горизонты земной коры и верхней мантии, недоступные бурению и обычным геологическим наблюдениям. На основе изучения гравитационного поля Земли изучается проблема: находится ли Земля в состоянии гидростатического равновесия и каковы напряжения в теле Земли. Сравнивая наблюдаемые изменения силы тяжести под влиянием притяжения Луны и Солнца с их теоретическими значениями, вычисленными для абсолютно твёрдой Земли, делают заключения о внутреннем строении и упругих свойствах Земли. Знание детального строения гравитационного поля Земли необходимо также и при расчёте орбит искусственных спутников Земли. При этом основное влияние оказывают неоднородности гравитационного поля, обусловленные сжатием Земли. Решается также и обратная задача: по наблюдениям возмущений в движении искусственных спутников вычисляются составляющие гравитационного поля. Теория и опыт показывают, что таким путём особенно уверенно определяются те особенности гравитационного поля, которые по гравиметрическим измерениям выводятся наименее точно. Поэтому для изучения фигуры Земли и её гравитационного поля совместно используются спутниковые и гравиметрические наблюдения, а также геодезические измерения Земли (см. Геодезическая гравиметрия).

Лит.: Шокин П. Ф., Гравиметрия, М., 1960; Бровар В. В., Магницкий В. А., Шимбирёв Б. П., Теория фигуры Земли, М., 1961; Грушинский Н. П., Теория фигуры Земли, М., 1963; Каула В. М., Космическая геодезия, пер. с англ., М., 1966; Веселов К. Е., Сагитов М. У., Гравиметрическая разведка, М., 1968.

М. У. Сагитов.

линии на поверхности, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между их концами. На плоскости Г. л. - прямые, на круговом цилиндре - винтовые линии, на сфере- большие круги. Не всякая дуга Г. л. является на поверхности кратчайшим путём; например, на сфере дуга большого круга, бо́льшая полуокружности, не будет на этой сфере кратчайшей между своими концами. Г. л. обладает тем свойством, что их главные нормали (См. Нормаль) являются нормалями к поверхности. Г. л. впервые появились в работах И. Бернулли и Л. Эйлера. Т. к. определение Г. л. связано только с измерениями на поверхности, они относятся к объектам т. н. внутренней геометрии (См. Внутренняя геометрия) поверхности. Понятие Г. л. переносится в геометрию римановых пространств. Советские математики А. Д. Александров и А. В. Погорелов исследовали аналоги Г. л. на общих выпуклых поверхностях. Понятие Г. л. широко применяется в теоретических и практических вопросах геодезии. Точки земной поверхности проектируются на поверхность земного эллипсоида (См. Земной эллипсоид) и соединяются Г. л. При этом применяются некоторые специальные приёмы для перехода от расстояний и углов на земной поверхности к соответствующим дугам Г. л. и углам между ними на поверхности земного эллипсоида.

Лит.: Люстерник Л. А., Геодезические линии, 2 изд., М. - Л., 1940; Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М. - Л., 1948; Погорелов А. В., Лекции по дифференциальной геометрии, 4 изд., Хар., 1967; Келль Н. Г., Высшая геодезия и геодезические работы, ч. 1, Л., 1932; Красовский Ф. Н. Руководство по высшей геодезии, ч. 2. М., 1942.

Э. Г. Поздняк.