историческое название территории между Доном, верхней Окой и левыми притоками Десны и Днепра, отделявшей Русское государство от Крымского ханства. Освоено в 16-17 вв. русскими крестьянами, бежавшими от феодальной эксплуатации и государственных повинностей.

консервативное поле, векторное поле, циркуляция которого вдоль любой замкнутой траектории равна нулю. Если П. п. - силовое поле, то это означает равенство нулю работы сил поля вдоль замкнутой траектории. Для П. п. а (М) существует такая однозначная функция u (М) (Потенциал поля), что а = gradu (см. Градиент). Если П. п. задано в односвязной области Ω, то потенциал этого поля может быть найден по формуле

,

в которой AM - любая гладкая кривая, соединяющая фиксированную точку А из Ω с точкой М, t - единичный вектор касательной кривой AM и / - длина дуги AM, отсчитываемая от точки А. Если а (М) - П. п., то rot a = 0 (см. Вихрь векторного поля). Обратно, если rot а = 0 и поле задано в односвязной области и дифференцируемо, то а (М) - П. п. Потенциальными являются, например, электростатическое поле, поле тяготения, поле скоростей при безвихревом движении.

особая форма материи; физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами П. ф. могут служить электромагнитное и гравитационное поля, поле ядерных сил, а также волновые (квантованные) поля, соответствующие различным частицам.

Впервые (30-е гг. 19 в.) понятие поля (электрического и магнитного) было введено М. Фарадеем (См. Фарадей). Концепция поля была принята им как альтернатива теории дальнодействия, т. е. взаимодействия частиц на расстоянии без какого-либо промежуточного агента (так интерпретировалось, например, электростатическое взаимодействие заряженных частиц по закону Кулона или гравитационное взаимодействие тел по закону всемирного тяготения Ньютона). Концепция поля явилась возрождением теории близкодействия, основоположником которой был Р. Декарт (1-я половина 17 в.). В 60-х гг. 19 в. Дж. К. Максвелл развил идею Фарадея об электромагнитном поле (См. Электромагнитное поле) и сформулировал математически его законы (см. Максвелла уравнения).

Согласно концепции поля, частицы, участвующие в каком-либо взаимодействии (например, электромагнитном или гравитационном), создают в каждой точке окружающего их пространства особое состояние - поле сил, проявляющееся в силовом воздействии на др. частицы, помещаемые в какую-либо точку этого пространства. Первоначально выдвигалась механистическая интерпретация поля как упругих напряжений гипотетической среды - "эфира". Однако наделение "эфира" свойствами упругой среды оказалось в резком противоречии с результатами проведённых позднее опытов. С точки зрения современных представлений, такая механистическая интерпретация поля вообще бессмысленна, поскольку сами упругие свойства макроскопических тел полностью объясняются электромагнитными взаимодействиями частиц, из которых состоят эти тела. Теория относительности, отвергнув концепцию "эфира" как особой упругой среды, вместе с тем придала фундаментальный смысл понятию П. ф. как первичной физической реальности. Действительно, согласно теории относительности, скорость распространения любого взаимодействия не может превышать скорости света в вакууме. Поэтому в системе взаимодействующих частиц сила, действующая в данный момент времени на какую-либо частицу системы, не определяется расположением др. частиц в этот же момент времени, т. е. изменение положения одной частицы сказывается на др. частице не сразу, а через определённый промежуток времени. Т. о., взаимодействие частиц, относительная скорость которых сравнима со скоростью света, можно описывать только через создаваемые ими поля. Изменение состояния (или положения) одной из частиц приводит к изменению создаваемого ею поля, которое отражается на др. частице лишь через конечный промежуток времени, необходимый для распространения этого изменения до частицы.

П. ф. не только осуществляют взаимодействие между частицами; могут существовать и проявляться свободные П. ф. независимо от создавших их частиц (например, Электромагнитные волны). Поэтому ясно, что П. ф. следует рассматривать как особую форму материи.

Каждому типу взаимодействий в природе отвечают определённые П. ф. Описание П. ф. в классической (не квантовой) теории поля производится с помощью одной или нескольких (непрерывных) функций поля, зависящих от координаты точки (х, у, z), в которой рассматривается поле, и от времени (t). Так, электромагнитное поле может быть полностью описано с помощью четырёх функций: скалярного потенциала φ(х, у, z, t) и вектор-потенциала А (х, у, z, t), которые вместе составляют единый четырёхмерный вектор в пространстве-времени. Напряжённости электрического и магнитного полей выражаются через производные этих функций. В общем случае число независимых полевых функций определяется числом внутренних степеней свободы частиц, соответствующих данному полю (см. ниже), например их Спином, изотопическим спином (См. Изотопический спин) и т.д. Исходя из общих принципов - требований релятивистской инвариантности (См. Релятивистская инвариантность) и некоторых более частных предположений (например, для электромагнитного поля - Суперпозиции принципа и т. н. градиентной инвариантности), можно из функций поля составить выражение для действия (См. Действие) и с помощью Наименьшего действия принципа (см. также Вариационные принципы механики) получить дифференциальные уравнения, определяющие поле. Значения функций поля в каждой отдельной точке можно рассматривать как Обобщённые координаты П. ф. Следовательно, П. ф. представляется как физическая система с бесконечным числом степеней свободы. По общим правилам механики можно получить выражение для обобщённых импульсов (См. Обобщённые импульсы) П. ф. и найти плотности энергии, импульса и момента количества движения поля.

Опыт показал (сначала для электромагнитного поля), что энергия и импульс поля изменяются дискретным образом, т. е. П. ф. можно поставить в соответствие определённые частицы (например, электромагнитному полю - Фотоны, гравитационному - Гравитоны). Это означает, что описание П. ф. с помощью полевых функций является лишь приближением, имеющим определённую область применимости. Чтобы учесть дискретные свойства П. ф. (т. е. построить квантовую теорию поля), необходимо считать обобщённые координаты и импульсы П. ф. не числами, а Операторами, для которых выполняются определённые Перестановочные соотношения. (Аналогично осуществляется переход от классической механики к квантовой механике (См. Квантовая механика).)

В квантовой механике доказывается, что систему взаимодействующих частиц можно описать с помощью некоторого квантового поля (см. Квантование вторичное). Т. о., не только каждому П. ф. соответствуют определённые частицы, но и, наоборот, всем известным частицам соответствуют квантованные поля. Этот факт является одним из проявлений корпускулярно-волнового дуализма (См. Корпускулярно-волновой дуализм) материи. Квантованные поля описывают уничтожение (или рождение) частиц и одновременно рождение (уничтожение) античастиц (См. Античастицы). Таким полем является, например, электрон-позитронное поле в квантовой электродинамике.

Вид перестановочных соотношений для операторов поля зависит от сорта частиц, соответствующих данному полю. Как показал В. Паули (1940), для частиц с целым спином операторы поля коммутируют и указанные частицы подчиняются Бозе-Эйнштейна статистике (См. Бозе - Эйнштейна статистика), в то время как для частиц с полуцелым спином они антикоммутируют и соответствующие частицы подчиняются Ферми-Дирака статистике (См. Ферми - Дирака статистика). Если частицы подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна (например, фотоны и гравитоны), то в одном и том же квантовом состоянии может находиться много (в пределе - бесконечно много) частиц. В указанном пределе средние величины квантованных полей переходят в обычные классические поля (например, в классические электромагнитное и гравитационное поля, описываемые непрерывными функциями координат и времени). Для полей, отвечающих частицам с полуцелым спином, не существует соответствующих классических полей.

Современная теория элементарных частиц строится как теория взаимодействующих квантовых П. ф. (электрон-позитронного, фотонного, мезонного и др.).

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля. 6 изд., М., 1973 (Теоретическая физика, т, 2); Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 2 изд., М., 1974.

С. С. Герштейн.

векторное поле, не имеющее источников. Это означает, что Дивергенция вектора а С. п. равна нулю: div а = 0. Примером С. п. служит Магнитное поле, div В = 0, где В - вектор магнитной индукции (См. Магнитная индукция). С. п. можно всегда представить в виде а = rot b, здесь дифференциальный оператор rot - Вихрь (ротор), а вектор b называется векторным потенциалом поля. См. также Векторное исчисление.