Диофантовы уравнения - определение. Что такое Диофантовы уравнения
Diclib.com
Словарь ChatGPT
Введите слово или словосочетание на любом языке 👆
Язык:

Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT

На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:

  • как употребляется слово
  • частота употребления
  • используется оно чаще в устной или письменной речи
  • варианты перевода слова
  • примеры употребления (несколько фраз с переводом)
  • этимология

Что (кто) такое Диофантовы уравнения - определение

Уравнение Диофанта; Диофантовы уравнения; Алгебраическое диофантово уравнение; Уравнение в целых числах

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ         
алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.
Диофантовы уравнения         
(по имени древнегреческого математика Диофанта)

алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие Д. у. в современной математике расширено: это уравнения, у которых разыскиваются решения в алгебраических числах (См. Алгебраическое число). Д. у. называются также неопределёнными. Простейшее Д. у. ax + by = 1, где а и b - целые Взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений: если x0 и у0 - одно решение, то числа х = x0 + bn, у = y0-an (n - любое целое число) тоже будут решениями. Так, все целые решения уравнения 2x + 3у = 1 получаются по формулам х = 2 + 3n, у = - 1 - 2n (здесь x0 = 2, у0 = - 1). Другим примером Д. у. является x2 + у2 = z2. Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами (См. Пифагоровы числа). Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам х = m2 - n2, у = 2mn, z = m2 + n2, где m и n - целые числа (m> n > 0).

Диофант в сочинении "Арифметика" занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Д. у. Общая теория решения Д. у. первой степени была создана в 17 в. французским математиком К. Г. Баше; к началу 19 в. трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса в основном было исследовано Д. у. вида

ах2 + bxy + су2 + dx + еу + f = 0,

где а, b, с, d, е, f - целые числа, т. е. общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, например, что Д. у. x2 - dy2 = 1 (Пелля уравнение), где d - целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого уравнения, а Лагранж доказал бесконечность числа решений. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное Д. у. второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм (См. Квадратичная форма), являющуюся основой решения некоторых типов Д. у. В исследованиях Д. у. степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты серьёзные успехи лишь в 20 в. А. Туз установил, что Д. у.

a0 xn + a1xn-1y +... + anyn = с

(где n ≥ 3, a0, а1,..., an, с - целые и многочлен a0tn + a1, tn-1 +...+ an неприводим в поле рациональных чисел) не может иметь бесконечного числа целых решений. Английским математиком А. Бейкером получены эффективные теоремы о границах решений некоторых таких уравнений. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Д. у., но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Д. у. вида

ax3 + y3 =1.

Существует много направлений теории Д. у. Так, известной задачей теории Д. у. является Ферма великая теорема. Советским математикам (Б. Н. Делоне, А. О. Гельфонду, Д. К. Фаддееву и др.) принадлежат фундаментальные работы по теории Д. у.

Лит.: Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 2 изд., М., 1956; Dickson L. Е., History of the theory of numbers, v. 2, Wash., 1920; Skolem Th., Diophantische Gleichungen, B., 1938.

Сопряжённые дифференциальные уравнения         

понятие теории дифференциальных уравнений. Уравнением, сопряжённым с дифференциальным уравнением

, (1)

называется уравнение

, (2)

Соотношение сопряженности взаимно. Для С. д. у. имеет место тождество

,

где ψ (у, z) - билинейная форма относительно у, z и их производных до (n - 1)-го порядка включительно. Знание k интегралов сопряжённого уравнения позволяет понизить на k единиц порядок данного уравнения. Если

y1, у2,... уn (3)

- фундаментальная система решений уравнения (1), то фундаментальная система решений уравнения (2) даётся формулами

(i = 1, 2, ..., n),

где Δ - определитель Вроньского (см. Вронскиан) системы (3). Если для уравнения (1) заданы краевые условия, то существуют сопряжённые с ними краевые условия для уравнения (2) такие, что уравнения (1) и (2) с соответствующими краевыми условиями определяют сопряжённые дифференциальные операторы (см. Сопряжённые операторы). Понятие сопряженности обобщается также на системы дифференциальных уравнений и на уравнения с частными производными.

Википедия

Диофантово уравнение

Диофа́нтово уравнение (также уравнение в целых числах) — это уравнение вида

P ( x 1 , , x m ) = 0 , {\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{m})=0,}

где P {\displaystyle P}  — целочисленная функция, например, полином с целыми коэффициентами, а переменные x i {\displaystyle x_{i}} принимают целые значения. «Диофантовым» уравнение названо в честь древнегреческого математика Диофанта.

Также при рассмотрении вопроса разрешимости переменные часто разделяют на параметры (значения которых предполагаются фиксированными) и неизвестные. Так, уравнение

P ( a 1 , , a n , x 1 , , x m ) = 0 , {\displaystyle P(a_{1},\dots ,a_{n},x_{1},\dots ,x_{m})=0,}

с параметрами a 1 , , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} и неизвестными x 1 , , x m {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}} считается разрешимым при данных значениях набора параметров ( a 1 , , a n ) {\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})} , если существуют набор чисел ( x 1 , , x m ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{m})} , при которых это равенство становится верным.

Таким образом, диофантовыми уравнениями называют уравнения с целыми коэффициентами, для которых требуется найти целочисленные (или натуральные) решения. При этом количество неизвестных в уравнении должно быть не менее двух. Своё название уравнения получили в честь выдающегося античного математика Диофанта Александрийского, который, как считается, первым систематически изучал неопределённые уравнения и описывал методы их решения. Все сохранившиеся записи собраны в книгу «Арифметика». После Диофанта схожим изучением неопределённых уравнений занимались индусские математики, начиная примерно с пятого века. В Европе решением неопределённых уравнений занимались практически все крупные алгебраисты своего времени: Леонардо Фибоначчи (ок.1170 — 1250 гг.), Франсуа Виет (1540—1603 гг.), Симон Стевин (ок. 1549—1620 гг.).

Проблема решения уравнений в целых числах рассмотрена до конца для уравнений с одним неизвестным, а также для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными.

Примеры употребления для Диофантовы уравнения
1. Тем, к примеру, что в "Урале" брали разгон Лев Аннинский и Игорь Золотусский, начинал второе (уже после возвращения с Колымы) вхождение в литературу Борис Ручьев, напечатал свои рубежные повести "Перевал" и "Стародуб" Виктор Астафьев, а позже Андрей Ромашов "Диофантовы уравнения". Постоянными авторами "Урала" на протяжении десятилетий были поэт Алексей Решетов и прозаик Николай Никонов.
Что такое ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ - определение