I
Изоморфи́зм (от Изо... и греч. morphé - вид, форма)
свойство веществ, аналогичных по химическому составу, кристаллизоваться в одинаковых формах. Впервые было показано немецким минералогом Э. Мичерлихом (1819) на примере KH
2PO
4, KH
2AsO
4 и NH
4H
2PO
4. Вскоре было обнаружено, что первые два вещества образуют смешанные кристаллы ("твёрдые растворы") с единой внешней формой при произвольном отношении P : As, в то время как в других парах аналогичные замещения ограничены количественно. Первый случай отвечает понятию "совершенный И.", а второй - понятию "ограниченный", или "несовершенный И.". Если количества замещающего элемента невелики, но существенны для поисковика минералога-геохимика, то говорят об эндокриптии (по А. Е.
Ферсману, замещение узлов кристаллических решёток ионами того же знака, но разных свойств и мало сходных величин). Требование родственности взаимозамещающихся элементов при И. первоначально понималось как чисто химическая близость, и первые ряды изоморфных элементов (В. И.
Вернадский; см.
Геохимия) повторяли группы менделеевской системы с некоторыми дополнениями известных из аналитической химии групп, например Al, Cr, Fe. Выяснилось, однако, что невозможно, например, замещение Na на Rb; твёрдые растворы К- и Na-coeдинений энергично распадаются при низких температурах (распад К-, Na-полевых шпатов). Решающим для объяснения этих явлений при И. было введение (В. М.
Гольдшмидт, 1926) представления об ионных радиусах (См.
Ионные радиусы), близость которых стала одним из основных условий И. У полновалентных катионов (Na
1+, Mg
2+,..., S
6+,...) ионный радиус
r быстро уменьшается вдоль строки менделеевской системы и резко увеличивается вдоль вертикали на величины, большие чем 10-15\% (экспериментальный предел для возможности И.). В результате изоморфными оказываются элементы, соседние по диагоналям (Д. И. Менделеев, А. Е. Ферсман), например ряд Na-Ca (
rNa = 0,98Å,
rCa = 1,02Å), который представлен в плагиоклазах, составляющих более 50\% земной коры. Эта диагональ продолжается к редкоземельным элементам, и именно благодаря постоянному изоморфному вхождению редкоземельных элементов в Са-минералы эти элементы долгое время считались двухвалентными (только Д. И. Менделеев перевёл их в III группу). Другие характерные "диагональные" пары: Li-Mg, Mo-Re, Be-Al и т. д. Если, однако, строки менделеевской системы длинные (с 32 клетками), то описанное сокращение радиусов вдоль строки заходит так далеко, что катионы одной и той же менделеевской группы выравнивают свои радиусы, т. е. у элементов одной группы, разделённых по вертикали "лантанидным сжатием", И. становится весьма ярко выраженным. Это относится к парам Ba-Ra, Zr-Hf, Nb-Ta и др. Но как ни близки между собой Nb и Ta, их легче отделить друг от друга, чем отделить от Ti, с которым они связаны диагональным изоморфизмом. Таким образом, изовалентный И. представлен намного скромнее (во всяком случае количественно), чем гетеровалентный И. Возникает вопрос, как компенсировать в структуре кристалла изменение валентности, например её увеличение при И. Ca
2+ → Na
1+. Решение просто, когда элемент на середине диагонали замещается двумя соседними по разные стороны, например
Особенно часто компенсация достигается за счёт одновременного гетеровалентного И. "в обратном направлении". В плагиоклазах замена Ca
2+ на Na
1+ сопровождается параллельно замещением Al
3+ на Si
4+:
Возникает вопрос, как быть с радиусами Si
4+(0,39Å) и Al
3+(0,57Å), различающимися на 46\%. Значительная разница между радиусами не является препятствием при гетеровалентном И., так как в анионной, более отрицательной части соединений заменяют друг друга не атомы, а тетраэдрические группы, например SiO
4-4 и AlO
5-4, в которых эффективные расстояния Si-О и Al-О (1,72 и 1,90
) разнятся всего лишь на 9\%. Литий, например, в более "катионной" форме, имеющий координацию 6, замещает по правилу диагонали Mg (в биотитах); находясь же среди четырёх О, способен заменить Be в берилле: [LiO
4] → [BeO
4]. Разобранные закономерности касаются в основном случаев изоморфных замещений между полновалентными ионами типа "благородных газов" в соединениях, которые подчиняются законам элементарной энергетики (формулы А. Ф. Капустинского). Для переходных металлов, образующих соединения существенно ковалентного типа и стремящихся создать возле себя за счёт донорско-акцепторного механизма группы электронов 8, 13-14, 18, закономерности И. иные. Так, в случае пары элементов с одним и тем же радиусом, например Zn
2+ и Fe
2+, мы встречаемся с односторонним И. Цинк в своём главном соединении ZnS (сфалерит) допускает вхождение до 20\% Fe, но Zn совершенно отсутствует в FeS. Причина лежит в возможности для Fe иметь как шестерную координацию, так и четверную, тогда как для Zn всегда в сульфидах - четверная координация.
И. очень распространён в природе. Широким развитием изоморфных замещений объясняется сложный химический состав большинства минералов, особенно из группы силикатов (См.
Силикаты)
. Примером совершенного И. являются минералы переменного состава, дающие непрерывные ряды: плагиоклазы, скаполиты, вольфрамиты и др. Законы изоморфного замещения объясняют распределение редких элементов, находящихся в виде примесей в горных породах и рудах. Так, значительная часть иттрия и редких земель находится в апатите, сфене и флюорите, изоморфно замещая кальций; трёхвалентный ванадий замещает в магнетите окисное железо; селен - серу в пирите и т. д. Учение об И. является основой для изучения форм нахождения элементов в горных породах и процессов концентрации и рассеяния химических элементов в земной коре.
Лит.: Вернадский В. И., Очерки геохимии, 4 изд., М. - Л., 1934; Ферсман А. Е., Геохимия, 2 изд., т. 1, Л, 1934; Менделеев Д. И., Соч., т. 1, Л., 1937; Гольдшмидт В. М., Кристаллохимия, пер. с нем., Л., 1937; Сто лет периодического закона химических элементов, М., 1969.
Н. В. Белов.
II
Изоморфи́зм
одно из основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как группы (См.
Группа), кольца (См.
Кольцо), поля (См.
Поле) и т. п., но оказавшееся весьма существенным для общего понимания строения и области возможных применений каждого раздела математики.
Понятие И. относится к системам объектов с заданными в них операциями или отношениями. В качестве простого примера двух изоморфных систем можно рассмотреть систему
R всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения
x =
x1+
x1 и систему
Р положительных действительных чисел с заданной на ней операцией умножения
y =
y1y2. Можно показать, что внутреннее "устройство" этих двух систем чисел совершенно одинаково. Для этого достаточно систему
R отобразить в систему
Р, поставив в соответствие числу
х из
R число
у =
ax (
а > 1) из Р. Тогда сумме
x =
x1 +
x2 будет соответствовать произведение
y =
y1y2 чисел
соответствующих
x1 и
x2. Обратное отображение
Р на
R имеет при этом вид
x = log
a y. Из любого предложения, относящегося к сложению чисел системы
R, можно извлечь соответствующее ему предложение, относящееся к умножению чисел системы
Р. Например, если в
R сумма
членов арифметической прогрессии выражается формулой
то в Р произведение
членов геометрической прогрессии выражается формулой
(умножению на n в системе R соответствует при переходе к системе Р возведение в n-ю степень, а делению на два - извлечение квадратного корня).
Изучение свойств одной из изоморфных систем в значительной мере (а с абстрактно-математической точки зрения - полностью) сводится к изучению свойств другой. Любую систему объектов S', изоморфную системе S, можно рассматривать как "модель" системы S ("моделировать систему S при помощи системы S' ") и сводить изучение самых разнообразных свойств системы S к изучению свойств "модели" S'.
Общее определение И. систем объектов с заданными на них в конечном числе отношениями между постоянным для каждого отношения числом объектов таково. Пусть даны две системы объектов S и S', причём в первой определены отношения
а во второй - отношения
Системы S и S' с указанными в них отношениями называются изоморфными, если их можно поставить в такое взаимно однозначное соответствие
(где х - произвольный элемент S, а x' - произвольный элемент S'), что из наличия Fk (x1,x2,...) вытекает F'k (х'1,х'2,...), и наоборот. Само указанное соответствие называется при этом изоморфным отображением, или изоморфизмом. [В приведённом выше примере в системе R определено отношение F (x, x1, x2), где x = x1 + x2, в системе Р - отношение F' (y, y1, y2), где у = у1у2; взаимно однозначное соответствие устанавливается по формулам у = ax, х = 1ogay.]
Понятие И. возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу.
Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до И.: аксиоматически построенная математическая теория, применимая к какой-либо одной системе объектов, всегда полностью применима и к другой. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математическая теория допускает не одну, а много "интерпретаций", или "моделей" (см., например, в ст.
Геометрия, раздел Истолкование геометрии).
Понятие И. включает в себя как частный случай понятие
Гомеоморфизма, играющее основную роль в топологии (См.
Топология).
Частным случаем И. является автоморфизм - взаимно однозначное отображение
системы объектов с заданными отношениями Fk(x1, x2, ...) на самоё себя, при котором из Fk(x1, x2, ...) вытекает F'k(x'1, x'2, ...), и наоборот. Это понятие тоже возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в самых различных разделах математики.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 3 изд., М. - Л., 1952; Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. - Л., 1951.