Почти параболические кометы. К этому классу относятся многие кометы. Поскольку их периоды обращения составляют миллионы лет, в течение века в окрестности Солнца появляется лишь одна десятитысячная их часть. В 20 в. наблюдалось ок. 250 таких комет; следовательно, всего их миллионы. К тому же далеко не все кометы приближаются к Солнцу настолько, чтобы стать видимыми: если перигелий (ближайшая к Солнцу точка) орбиты кометы лежит за орбитой Юпитера, то заметить ее практически невозможно.

Учитывая это, в 1950 Ян Оорт предположил, что пространство вокруг Солнца на расстоянии 20-100 тыс. а.е. (астрономических единиц: 1 а.е. = 150 млн. км, расстояние от Земли до Солнца) заполнено ядрами комет, численность которых оценивается в 1012, а полная масса - в 1-100 масс Земли. Внешняя граница "кометного облака" Оорта определяется тем, что на этом расстоянии от Солнца на движение комет существенно влияет притяжение соседних звезд и других массивных объектов (см. ниже). Звезды перемещаются относительно Солнца, их возмущающее влияние на кометы изменяется, и это приводит к эволюции кометных орбит. Так, случайно комета может оказаться на орбите, проходящей вблизи Солнца, но на следующем обороте ее орбита немного изменится, и комета пройдет вдали от Солнца. Однако вместо нее из облака Оорта в окрестность Солнца будут постоянно попадать "новые" кометы.

Короткопериодические кометы. При прохождении кометы вблизи Солнца ее ядро нагревается, и льды испаряются, образуя газовые кому и хвост. После нескольких сотен или тысяч таких пролетов в ядре не остается легкоплавких веществ, и оно перестает быть видимым. Для регулярно сближающихся с Солнцем короткопериодических комет это означает, что менее чем за миллион лет их популяция должна стать невидимой. Но мы их наблюдаем, следовательно, постоянно поступает пополнение из "свежих" комет.

Пополнение короткопериодических комет происходит в результате их "захвата" планетами, главным образом Юпитером. Ранее считалось, что захватываются кометы из числа долгопериодических, приходящих из облака Оорта, но теперь полагают, что их источником служит кометный диск, называемый "внутренним облаком Оорта". В принципе представление об облаке Оорта не изменилось, однако расчеты показали, что приливное влияние Галактики и воздействие массивных облаков межзвездного газа должны довольно быстро его разрушать. Необходим источник его пополнения. Таким источником теперь считают внутреннее облако Оорта, значительно более устойчивое к приливному влиянию и содержащее на порядок больше комет, чем предсказанное Оортом внешнее облако. После каждого сближения Солнечной системы с массивным межзвездным облаком кометы из внешнего облака Оорта разлетаются в межзвездное пространство, а им на смену приходят кометы из внутреннего облака.

Переход кометы с почти параболической орбиты на короткопериодическую происходит в том случае, если она догоняет планету сзади. Обычно для захвата кометы на новую орбиту требуется несколько ее проходов через планетную систему. Результирующая орбита кометы, как правило, имеет небольшое наклонение и большой эксцентриситет. Комета движется по ней в прямом направлении, и афелий ее орбиты (наиболее удаленная от Солнца точка) лежит вблизи орбиты захватившей ее планеты. Эти теоретические соображения полностью подтверждаются статистикой кометных орбит.

Негравитационные силы. Газообразные продукты сублимации оказывают реактивное давление на ядро кометы (подобное отдаче ружья при выстреле), которое приводит к эволюции орбиты. Наиболее активный отток газа происходит с нагретой "послеполуденной" стороны ядра. Поэтому направление силы давления на ядро не совпадает с направлением солнечных лучей и солнечного тяготения. Если осевое вращение ядра и его орбитальное обращение происходят в одном направлении, то давление газа в целом ускоряет движение ядра, приводя к увеличению орбиты. Если же вращение и обращение происходят в противоположных направлениях, то движение кометы тормозится, и орбита сокращается. Если такая комета первоначально была захвачена Юпитером, то через некоторое время ее орбита целиком оказывается в области внутренних планет. Вероятно, именно это случилось с кометой Энке.

Кометы, задевающие Солнце. Особую группу короткопериодических комет составляют кометы, "задевающие" Солнце. Вероятно, они образовались тысячелетия назад в результате приливного разрушения крупного, не менее 100 км в диаметре, ядра. После первого катастрофического сближения с Солнцем фрагменты ядра совершили ок. 150 оборотов, продолжая распадаться на части. Двенадцать членов этого семейства комет Крейца наблюдались между 1843 и 1984. Возможно, их происхождение связано с большой кометой, которую видел Аристотель в 371 до н.э.

Комета Галлея. Это самая знаменитая из всех комет. Она наблюдалась 30 раз с 239 до н.э. Названа в честь Э.Галлея, который после появления кометы в 1682 рассчитал ее орбиту и предсказал ее возвращение в 1758. Орбитальный период кометы Галлея - 76 лет; последний раз она появилась в 1986 и в следующий раз будет наблюдаться в 2061. В 1986 ее изучали с близкого расстояния 5 межпланетных зондов - два японских ("Сакигаке" и "Суйсей"), два советских ("Вега-1" и "Вега-2") и один европейский ("Джотто"). Оказалось, что ядро кометы имеет картофелеобразную форму длиной ок. 15 км и шириной ок. 8 км, а его поверхность "чернее угля".Возможно, оно покрыто слоем органических соединений, например полимеризованного формальдегида. Количество пыли вблизи ядра оказалось значительно выше ожидаемого. См. также ГАЛЛЕЙ, ЭДМУНД.

Комета Энке. Эта тусклая комета была первой включена в семейство комет Юпитера. Ее период 3,29 года - наиболее короткий среди комет. Орбиту впервые вычислил в 1819 немецкий астроном И.Энке (1791-1865), отождествивший ее с кометами, наблюдавшимися в 1786, 1795 и 1805. Комета Энке ответственна за метеорный поток Тауриды, наблюдающийся ежегодно в октябре и ноябре.

Комета Джакобини - Циннера. Эту комету открыл М.Джакобини в 1900 и переоткрыл Э.Циннер в 1913. Ее период 6,59 лет. Именно с ней 11 сентября 1985 впервые сблизился космический зонд "International Cometary Explorer", который прошел через хвост кометы на расстоянии 7800 км от ядра, благодаря чему были получены данные о плазменной компоненте хвоста. С этой кометой связан метеорный поток Джакобиниды (Дракониды).

специальный вид распределения вероятностей случайных величин. Введено О. Коши; характеризуется плотностью

p (x) = , λ > 0;

характеристическая функция

К. р. - унимодально и симметрично относительно точки х = μ, являющейся его модой (См. Мода) и медианой (См. Медиана). Ни один из моментов, К. р. положительного порядка не существует. На рис. дано К. р. при μ = 1,5, λ = 1.

Распределение Коши: а - плотность вероятности; б - функция распределения.

закон распределения вероятностей; то же, что Нормальное распределение.

одно из важнейших распределений (См. Распределение) вероятностей. Термин "Н. р." применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распредслениям случайных векторов).

Распределение вероятностей случайной величины Х называется нормальным, если оно имеет Плотность вероятности

. (*)

Семейство Н. р. (*) зависит, т. о., от двух параметров а и σ. При этом Математическое ожидание Х равно а, Дисперсия Х равна σ². Кривая Н. р. у = р (х; а, σ) симметрична относительно ординаты, проходящей через точку х = а, и имеет в этой точке единственный максимум, равный . С уменьшением σ кривая Н. р. становится всё более и более островершинной (см. рис.). Изменение а при постоянном σ не меняет форму кривой, а вызывает лишь её смещение по оси абсцисс. Площадь, заключённая под кривой Н. р., всегда равна единице. При a = 0, σ = 1 соответствуюшая функция распределения равна

.

В общем случае функция распределения Н. р. (*) F (х; а, σ) может быть вычислена по формуле F (x; а, σ) = Ф (t), где t = (х - а)/σ. Для функции Ф (t) (и нескольких её производных) составлены обширные таблицы. Для Н. р. вероятность неравенства , равная 1- Ф (k)+ Ф (- k), убывает весьма быстро с ростом k (см. таблицу).

------------------------------------

| k | Вероятность |

|----------------------------------|

| 1 | 0,31731 |

|----------------------------------|

| 2 | 0,04550 |

|----------------------------------|

| 3 | 0,00269 |

|----------------------------------|

| 4 | 0,00006 |

------------------------------------

Во многих практических вопросах при рассмотрении Н. р. пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих 3σ, - т. н. правило трёх сигма (соответствующая вероятность, как видно из таблицы, меньше 0,003). Вероятное отклонение для Н. р. равно 0,67449σ.

Н. р. встречается в большом числе приложений. Издавна известны попытки объяснения этого обстоятельства. Теоретическое обоснование исключительной роли Н. р. дают Предельные теоремы теории вероятностей (см. также Лапласа теорема, Ляпунова теорема). Качественно соответствующий результат может быть объяснён следующим образом: Н. р. служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из которых мала по сравнению со всей суммой.

Н. р. может появляться также как точное решение некоторых задач (в рамках принятой математической модели явления). Так обстоит дело в теории случайных процессов (См. Случайный процесс) (в одной из основных моделей броуновского движения (См. Броуновское движение)). Классические примеры возникновения Н. р. как точного принадлежат К. Гауссу (закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (закон распределения скоростей молекул).

Совместное распределение нескольких случайных величин X₁, X₂,..., X_s называется нормальным (многомерным нормальным), если соответствующая плотность вероятности имеет вид:

, где ,

q_{k, l} = q_{l, k} - положительно определенная квадратичная форма. Постоянная С определяется из того условия, что интеграл от р по всему пространству равен 1. Параметры a₁,..., a_s равны математическим ожиданиям X₁,..., X_s соответственно, а коэффициент q_{k, l} могут быть выражены через дисперсии σ₁²,..., σ_s² этих величин и коэффициент корреляции (См. Корреляция) σ_{k, l} между X_k и X_l. Общее количество параметров, задающих Н. р., равно

(s + 1)(s + 2)/2 - 1

и быстро растет с ростом s (оно равно 2 при s = 1, 20 при s = 5 и 65 при s = 10). Многомерное Н. р. служит основной моделью статистического анализа многомерного (См. Статистический анализ многомерный). Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматривают также Н. р. в бесконечномерных пространствах).

О вопросах, связанных с оценкой параметров Н. р. по результатам наблюдений, см. статьи Малые выборки и Несмещенная оценка (См. Несмещённая оценка). О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы (в математической статистике).

Лит. см. при ст. Распределения.

Ю. В. Прохоров.

Кривые плотности нормального распределения для различных значений параметров а и σ: I. а = 0, σ = 2,5; II. a = 0, σ = 1; III. a = 0, σ = 0,4; IV. a = 3, σ = 1.