к кривой линии, предельное положение секущей. К. определяется так. Пусть М - точка кривой L (рис. 1). Выберем на L вторую точку M' и проведём прямую MM'. Будем считать М неподвижной, а точку M' приближать к М по кривой L. Если при неограниченном приближении M' к М прямая MM' стремится к одному определённому положению MT, то MT называется касательной к кривой L в точке М. Не у всякой непрерывной кривой имеются К., поскольку прямая MM' может не стремиться к предельному положению или может стремиться к двум разным предельным положениям, когда M' стремится к М с разных сторон от М (рис. 2). Встречающиеся в элементарной геометрии кривые имеют вполне определённую К. во всех точках, кроме некоторого числа "особых" точек. Если кривая на плоскости в прямоугольных координатах определяется уравнением у = f (x) и f (х) дифференцируема в точке x₀, то угловой коэффициент К. в точке М с абсциссой x₀ равен значению производной f'(x₀) в точке x₀, уравнение К. в этой точке имеет вид:

у - f (x₀) = f ' (х₀)(х - x₀).

Касательной (прямой) к поверхности S в точке М называют любую прямую, проходящую через точку М и лежащую в касательной плоскости (См. Касательная плоскость) к S в точке М.

Рис. 1 к ст. Касательная.

Рис. 2 к ст. Касательная.

КАС'АТЕЛЬНАЯ, касательной, ·жен. (мат.). Прямая линия, имеющая одну общую точку с кривой. Провести касательную к кругу.

к поверхности S в точке М, плоскость, проходящая через точку М и характеризующаяся тем свойством, что расстояние от этой плоскости до переменной точки M' поверхности S при стремлении M' к М является бесконечно малым по сравнению с расстоянием MM'. Если поверхность S задана уравнением z = f (x, у), то уравнение К. п. в точке (x₀, y₀, z₀), где z₀ = f (x₀, y₀), имеет вид:

z - z₀ = A (x - x₀) + В (у - у₀)

в том и только том случае, когда функция f (x, у) имеет в точке (x₀, y₀) полный дифференциал. В этом случае А и В суть значения частных производных и в точке (x₀, y₀) (см. Дифференциальное исчисление).