научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. "Н." Е. не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в "Н." Е. не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

"Н." Е. построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства (см. Дедукция). Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путём их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например "что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию" (1 постулат); "И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг" (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных): "И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых". Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из др. основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского (См. Лобачевский), построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется (см. Лобачевского геометрия). За постулатами в "Н." Е. приводятся аксиомы - предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Например: "Равные одному и тому же равны и между собой" (1-я аксиома); "И целое больше части" (8-я аксиома).

С современной точки зрения система аксиом и постулатов "Н." Е. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения "Н." Е. полностью выяснились лишь в конце 19 в. после работ Д. Гильберта (см. Евклидова геометрия). До этого на протяжении более 2 тыс. лет "Н." Е. служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращённом и переработанном виде изучали геометрию.

"Н." Е. состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга Пифагора теоремой (См. Пифагора теорема). В книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраическая символика в "Н." Е. отсутствует). В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским (См. Гиппократ Хиосский) во 2-й половине 5 в. до н. э.), в книге IV - правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским (См. Евдокс Книдский); её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (Евклида алгоритме). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги Х применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг Х и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к "Н." Е. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом "Н." Е.

"Н." Е. получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и др. учёные опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. До нашего времени античный текст "Н." Е. не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й половине 9 в.). В конце 8 в. - начале 9 в. появляются переводы "Н." Е. на арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского Ателхардом Батским в 1-й четверти 12 в. Старинные списки отличаются существенными разночтениями; подлинный текст "Н." Е. точно не восстановлен. Первое печатное издание "Н." Е. в переводе Дж. Кампано на латинский язык появилось в Венеции в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен около 1250-1260; Кампано использовал как арабские источники, так и перевод Ателхарда Батского). Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гейберга ("Euclidis Elementa", v. 1-5, Lipsiae, 1883-88), в котором приводится как греч. текст, так и его лат. перевод. На русском языке "Н." Е. издавались многократно начиная с 18 в. Лучшее издание - "Начала Евклида", пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1-3, 1948-50.

Лит.: История математики с древнейших времён до начала нового времени, т. 1, М., 1970.

И. Г. Башмакова, А. И. Маркушевич.

способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов или общей меры двух отрезков. Описан в геометрической форме в "Началах" Евклида. Для случая положительных чисел а и b, причём a ≥ b, этот способ состоит в следующем. Деление с остатком числа а на число b всегда приводит к результату а = nb + b₁, где частное n - целое положительное число, а остаток b₁ - либо 0, либо положительное число, меньшее b (0 ≤ b₁ < b). Будем производить последовательное деление:

где все n_i - положительные целые числа и 0 ≤ b₁ < b_i-1 до тех пор, пока не получится остаток, равный нулю. Этот последний остаток b_k+1 можно не писать, так что ряд равенств (*) закончится так:

b_k-2 = n_k-1 + b_k,

b_k-1 = n_kb_k.

Последний положительный остаток b_к в этом процессе и является наибольшим общим делителем чисел а и b. Е. а. служит не только для нахождения наибольшего общего делителя, но и для доказательства его существования. В случае многочленов или отрезков поступают сходным образом. В случае несоизмеримых отрезков (см. Соизмеримые и несоизмеримые величины) Е. а. оказывается бесконечным.