раздел математической статистики (См.
Математическая статистика), посвященный построению уточнённых выводов о численных значениях приближённо измеренных величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, так как каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают 3 основных вида
ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки всё время либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на измерения и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематических
ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математической статистики (см.
Наблюдений обработка). Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредвиденным образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результатов.
О. т. занимается изучением лишь грубых и случайных
ошибок. Основные задачи О. т.: разыскание законов распределения случайных
ошибок, разыскание оценок (см.
Статистические оценки) неизвестных измеряемых величин по результатам измерений, установление погрешностей таких оценок и устранение грубых
ошибок.
Пусть в результате n независимых равноточных измерений некоторой неизвестной величины а получены значения x1, x2,..., xn. Разности
δ1 = x1 - a,..., δn = xn - a
называются истинными ошибками. В терминах вероятностной О. т. все δ
i трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин δ
1,..., δ
n. Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределённость: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание случайных
ошибок b = Eδ
1 =..
.= Еδ
n называется систематической ошибкой, а разности δ
1 -
b,..., δ
n -
b - случайными ошибками. Таким образом, отсутствие систематической ошибки означает, что
b = 0
, и в этой ситуации δ
1,..., δ
n суть случайные ошибки. Величину
, где
а - Квадратичное отклонение, называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности выражается отношением
. Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых
ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины
а обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений
,
а разности Δ
1 = x1 - x̅
,..., Δn = xn - x̅
называются кажущимися ошибками. Выбор x̅
в качестве оценки для
а основан на том, что при достаточно большом числе
n равноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка x̅ с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины
а (см.
Больших чисел закон); оценка x̅ лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещенными); дисперсия оценки есть
Dx̅ = E (x̅ - а)2 = σ2/n.
Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки δ
i подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты так называемыми предельными теоремами (См.
Предельные теоремы) теории вероятностей). В этом случае величина x̅ имеет мало отличающееся от нормального распределение, с математическим ожиданием
а и дисперсией σ
2/n. Если распределения δ
i в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещенной оценки для
а, например медианы (См.
Медиана), не меньше Dx̅
. Если же распределение δ
i отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.
Если дисперсия σ2 отдельных измерений заранее известна, то для её оценки пользуются величиной
(Es2 = σ2, т. е. s2 - несмещенная оценка для σ2), если случайные ошибки δi имеют нормальное распределение, то отношение
Величина (
n - 1)
s2/σ
2 при тех же предположениях имеет распределение χ
2 (см. "Хи-квадрат" (См.
Хи-квадрат распределение)
распределение) с
n - 1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства σ ≈
s. Можно показать, что относительная погрешность |
s - σ|
Is не будет превышать числа
q с вероятностью
ω = F (z2, n - 1) - F (z1, n - 1),
где F (z, n - 1) - функция распределения χ2,
,
.
Лит.: Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968.
Л. Н. Большев.