1) обширное, ровное, безлесное пространство. 2) В сельском хозяйстве участки пашни, на которые разделены площадь Севооборота, а также внесевооборотные (запольные) участки, используемые для выращивания с.-х. растений. 3) Ограниченный определёнными пределами объект наблюдения, обозрения (П. зрения); часть пространства, плоскости, которая изображается оптической системой, например Поле зрения оптической системы. 4) Район боевых операций (П. битвы, П. обстрела). 5) В русских юридических источниках 13-16 вв. судебный поединок (см. Поле юридическое). 6) Основной цвет, тон, на котором что-либо изображено; задний план изображения, то же, что фон. 7) Полоса вдоль края листа бумаги, оставляемая свободной от письма и печати (тетрадь с П., П. книги, П. рукописи). 8) В переносном смысле - область, сфера человеческой деятельности, поприще. 9) Поля - а) земельные участки, специально приспособленные для определённых целей, например для приёма сточных вод (см. Поля фильтрации, Поля орошения); б) широкий край шляпы. О применении термина "П." в математике см. Поле алгебраическое, Поле направлений, Поля теория и др.; в физике - Поля физические, Электромагнитное поле и др.; в астрономии и геофизике - Электрическое поле в атмосфере (См. Электрическое поле атмосферы), Электрическое поле Земли. См. также Поле в биологии, Поле семантическое.

семантическое, совокупность слов, объединяемых смысловыми связями по сходным признакам их лексических значений. Например, П. немецкого глагола fehlen охватывает 7 глаголов, объединяемых признаком "отсутствовать": fehlen, abgehen, mangeln, gebrechen, vermissen, entbehren, missen. Понятие П. позволяет адекватно описывать микроструктурные системные семантические взаимодействия языковых единиц. Разрабатывается с конца 20-х - начала 30-х гг. 20 в. немецкими учёными И. Триром (изучал совокупность слов в их предметно-понятийных связях), В. Порцигом (исследовал одно слово в его семантико-синтаксических связях), А. Йоллесом (связал П. с этимолого-словообразовательным анализом слова), Г. Ипсеном. В 50-е гг. 20 в. теорию П. разрабатывает Л. Вайсгербер (ФРГ). Концепции немецких учёных подвергаются критике за использование понятия П. для доказательства идеалистического тезиса о "промежуточном языковом мире" (die sprachliche Zwischenwelt), субъективизм в выделении полей, невозможность охватить ими всю лексику, умаление самостоятельной роли отдельного слова.

С 60-х гг. 20 в. исследуются лексико-семантические поля слов и синтактико-семантические П. одного слова. Понятие П. расширяется: выделяются лексико-грамматические, функционально-семантические, словообразовательные и др. виды полей.

Лит.: Уфимцева А. А., Опыт изучения лексики как системы, М., 1962; Кузнецова А. И., Понятие семантической системы языка и методы её исследования, М., 1963; Васильев Л. М., Теория семантических полей, "Вопросы языкознания", № 5, 1971; Щур Г. С., Теории поля в лингвистике, М. - Л., 1974; Trier J., Der deutsche Wortschatz im Sinnbezirk des Verstandes, Hdlb., 1931; Porzig W., Das Wunder der Sprache, 3 Aufl., Bern, 1962; Weisgerber L., Grundzüge der inhaitbezogenen Grammatik, 3. Aufl., Düsseldorf, 1962: Hoberg R., Die Lehre vom sprachlichen Feld, Düsseldorf, 1970; Minina N., Semantische Felder, Moskau, 1973.

Н. М. Минина.

юридическое, в русских источниках 13-16 вв. судебный поединок. Обычно П. предусматривалось как альтернатива присяге (крестному целованию), причём в качестве противоборствующих могли выступить и свидетели обеих сторон. Инициатива решения дела П. принадлежала участникам процесса. Престарелые, малолетние и духовные лица имели право выставлять за себя "наймита". Проигрыш поединка или отказ от П. со стороны участника процесса означал проигрыш им дела. Стороны имели право помириться как до поединка, так и выйдя на него. К середине 16 в. П. - юридический анахронизм (хотя и упомянуто в Судебниках 1550 и 1589), оно почти полностью исчезает из судебной практики.

Лит.: Судебники XV-XVI вв., М. - Л., 1952.

алгебраическое, важное алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в др. отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения.

Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия (основные - сложение и умножение, и обратные им - вычитание и деление). Этим же характеризуются и П. Полем называется всякая совокупность (или множество) элементов, над которыми можно производить два действия - сложение и умножение, подчиняющиеся обычным законам (аксиомам) арифметики:

I. Сложение и умножение коммутативны и ассоциативны, т. е. a + b = b + a, ab = ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a (bc) = (ab) c.

II. Существует элемент 0 (нуль), для которого всегда а + 0 = а; для каждого элемента а существует противоположный -а, и их сумма равна нулю. Отсюда следует, что в П. выполнима операция вычитания а - b.

III. Существует элемент е (единица), для которого всегда ае = а; для каждого отличного от нуля элемента а существует обратный a^-1; их произведение равно единице. Отсюда следует возможность деления на всякое не равное нулю число а.

IV. Связь между операциями сложения и умножения даётся дистрибутивным законом: a (b + c) = ab + ac.

Приведём несколько примеров П.:

1) Совокупность Р всех рациональных чисел.

2) Совокупность R всех действительных чисел.

3) Совокупность К всех комплексных чисел.

4) Множество всех рациональных функций от одного или от нескольких переменных, например с действительными коэффициентами.

5) Множество всех чисел вида а + b , где а и b - рациональные числа.

6) Выбрав простое число р, разобьем целые числа на классы, объединив в один класс все числа, дающие при делении на р один и тот же остаток. Возьмём в двух классах по представителю и сложим их; тот класс, в который попадёт эта сумма, назовем суммой выбранных классов. Аналогично определяется произведение. При таком определении сложения и умножения все классы образуют П.; оно состоит из р элементов.

Из аксиом I, II следует, что элементы П. образуют коммутативную группу (См. Группа) относительно сложения, а из аксиом I, III - то, что все отличные от 0 элементы П. образуют коммутативную группу относительно умножения.

Может оказаться, что в П. равно нулю целое кратное na какого-либо отличного от нуля элемента а. В этом случае существует такое простое число р, что р-кратное pa любого элемента а этого П. равно нулю. Говорят, что в этом случае характеристика П. равна р (пример 6). Если na ≠ 0 ни для каких отличных от нуля n и а, то считают характеристику П. равной нулю (примеры 1-5).

Если часть F элементов поля G сама образует П. относительно тех же операций сложения и умножения, то F называется подполем поля G, а G - надполем, или расширением поля F. П., не имеющее подполей, называется простым. Все простые П. исчерпываются П. примеров 1 и 6 (при всевозможных выборах простого числа р). В каждом П. содержится единственное простое подполе (П. примеров 2-5 содержат П. рациональных чисел). Естественно было бы поставить такую задачу: отправляясь от простого П., получить описание всех П., изучив структуру расширений; приводимая ниже теорема Штейница делает шаг именно в этом направлении.

Некоторые расширения имеют сравнительно простое строение. Это - а) простые трансцендентные расширения, которые сводятся к тому, что за поле G берётся П. всех рациональных функций от одного переменного с коэффициентами из F, и б) простые алгебраические расширения (пример 5), которые получаются, если совокупность G всех многочленов степени n складывать и умножать по модулю данного неприводимого над F многочлена f (x) степени n (конструкция, аналогичная примеру 6). Расширения второго типа сводятся к тому, что мы добавляем к F корень многочлена f (x) и все те элементы, которые можно выразить через этот корень и элементы F; каждый элемент надполя G является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из F. Расширения, обладающие последним свойством, называется алгебраическими. Любое расширение можно выполнить в два приёма: сначала совершить трансцендентное расширение (образовав П. рациональных функций, не обязательно от одной переменной), а затем алгебраическое (теорема Штейница). Алгебраических расширений не имеют только такие П., в которых каждый многочлен разлагается на линейные множители. Такие П. называются алгебраически замкнутыми. П. комплексных чисел является алгебраически замкнутым (Алгебры Основная теорема). Любое П. можно включить в качестве подполя в алгебраически замкнутое.

Некоторые П. специального вида подверглись более детальному изучению. В теории алгебраических чисел рассматриваются главным образом простые алгебраические расширения П. рациональных чисел. В теории алгебраических функций исследуются простые алгебраические расширения П. рациональных функций с комплексными коэффициентами; значительное внимание уделяется конечным расширениям П. рациональных функций над произвольным П. констант (т. е. с произвольными коэффициентами). Конечные расширения П., в особенности их автоморфизмы (см. Изоморфизм), изучаются в теории Галуа (см. Галуа теория); здесь находят ответ многие вопросы, возникающие при решении алгебраических уравнений. Во многих вопросах алгебры, особенно в различных отделах теории П., большую роль играют нормированные поля. В связи с геометрическими исследованиями появились и изучались упорядоченные П.

См. также Алгебра, Алгебраическое число, Алгебраическая функция, Кольцо алгебраическое.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971; Ван дер Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., [2 изд.], ч. 1-2, М. - Л., 1947; Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948; его же, Основы теории Галуа. ч. 1-2, Л. - М., 1934-37; Вейль Г., Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1947.

в биологии, понятие, описывающее биологическую систему, поведение частей которой определяется их положением в этой системе. Наличие таких систем следует прежде всего из многочисленных опытов по перемещению, удалению и добавлению частей у зародышей. Во многих случаях из таких зародышей развиваются нормальные организмы, т.к. их составные части изменяют прежний путь развития согласно своему новому положению в целом. В 1912-22 А. Г. Гурвич ввёл понятие П. (морфогенетического П.) в эмбриологию и поставил задачу отыскания его законов. Последние сначала отождествлялись им с нерасчленимым фактором, управляющим формообразованием, позже - с системой межклеточных взаимодействий, определяющих движение и дифференцировку клеток зародыша. В 1925 австрийский учёный П. Вейс применил понятие П. к процессам регенерации (См. Регенерация); в 1934 английские учёные Дж. Хаксли и Г. де Вер объединили его с понятием Градиента. Английский биолог К. Уоддингтон и французский математик Р. Том (40-60-е гг. 20 в.) создали представления об эмбриональном развитии как о векторном П., разделённом на ограниченное число зон "структурной устойчивости". Этот круг понятий интенсивно разрабатывается в современной теоретической биологии, но единого мнения о внутренних закономерностях явлений, описываемых понятием П., не выработано.

Лит.: Гурвич А. Г., Теория биологического поля, М., 1944; Уоддингтон К. Морфогенез и генетика, пер. с англ., М., 1964; На пути к теоретической биологии, пер. с англ., [т.] 1, М., 1970; Towards a theoretical biology, v. 2-4, Edin., 1969-72.

Л. В. Белоусов.

П'ОЛЕ, поля, мн. поля, полей, ср.

1. Безлесная равнина, ровное (в отличие от селения, леса) обширное пространство. "И вот нашли большое поле: есть разгуляться где на воле." Лермонтов. "Князь по полю едет на верном коне." Пушкин. "Владимир ехал полем, пересеченным глубокими оврагами." Пушкин.

| Засеянный или возделанный под посев участок земли. Ржаное поле. Поле под паром. Удобрение полей.

| Вообще - ровное, обширное пространство чего-нибудь. Ледяное поле.

2. перен. Основной цвет, фон, пространство, на котором нанесены узоры, рисунки или геральдические изображения. Олень на золотом поле. По желтому полю обоев лиловые полоски. Ситец по голубому полю розовыми цветами.

3. чаще мн. Узкая полоса вдоль края листа бумаги, оставляемая свободной от письма или печати. Тетрадь без полей. Заметки на полях книги. Пятно на правом поле.

4. только мн. Широкий край у шляпы. Мягкие поля.

5. Пространство, доступное для каких-нибудь действий, находящееся в *****

Широкое поле для пропагандиста.

7. Судебный поединок в древней Руси (·ист. ).

8. Охота, сезон охоты (охот.). Посмотрим, каковы будут собаки в поле. Кобель по третьему полю.

| Охотничья добыча (охот.). Пара глухарей - хорошее поле. С полем! (с удачной охотой!).

• Поле брани (или битвы, сражения) (·книж.) - место, где происходила битва. Пал на поле брани. "На поле сражения лежали мертвые люди и лошади." Пришвин. Поле зрения - перен. кругозор, область рассмотрения или изучения. Этот факт остался вне поля моего зрения. Поле сознания (·книж.) - совокупность имеющихся в данный момент переживаний, фиксируемых сознанием. Отъезжее поле (охот.) - удаленное от дома место для охоты, куда надо выезжать с ночевкой. "Сосед мой поспешает в отъезжие поля с охотою своей." Пушкин. Елисейские поля (·поэт. ·устар.) - то же, что Элизиум, ·срн. елисейский
. "Та, кого любил ты много, поведет рукой незримой в Елисейские поля." А.Блок.

ср. простор за городом, селеньем, безлесная, незастроенная, обширная равнина; посему поле противополагается селению, лесу, горам, болоту и пр. Выйдем в поле или на поле. Скот ходит в поле. Не поле кормит, а нива, обработанная, а не простор только. Встарь полем звали наши южные степи. А от шацкия украины на поле, на реке Цне, на усть речки Литвицы, поставлен город Тамбов.

| Пашня, нива, засеянная хлебом, или вообще к сему назначенная земля; поля мн. пашни. В нашем хозяйстве всего три поля: озимое, яровое, пар. У нас с ним поле с полем не сходится, поля рознят, пар соседа примыкает к нашей озими. Поле муку любит, труд. Отхожия поля, дальние, пустоши, которые пашут наездом. Поле белое, семя черное, а кто сеет, тот разумеет. письмо. Обрабатывать поле науки. Полько, польце, польцо, полечко ·умалит., полишко презр., полище увелч.

| Грунт, ·*нем. фон, ·*франц. земля, основной цвет или простор промеж узора, либо в картине. По белому полю обоев раскиданы цветочки. По золотому полю парчи алые струи с цветами. Голубое поле серебром усыпано. ночное небо. Золот хозяин на поле, серебрян пастух с поля. солнце и луна. Поле картины слишком затемнено. В чистом поле, в широком раздолье, за темными лесами, за зелеными лугами, за быстрыми реками, за крутыми берегами, сказ. Ваша воля, а наше поле: биться не хотим, а поля не отдадим! Чье поле, того и воля. Один в поле не воин (не ратный). В чистом поле четыре воли: хоть туда, хоть сюда, хоть инаково. Пошло поле не по двору, так катись оно под гору! Наг поле перейдет, а голоден, ни с места. В поле не в дуброве: за сук не зацепишь. В поле за ветром не угоняешься. Одним конем всего поля не изъездишь. Не бывает поле безо ржи, а слово безо лжи. Умирай в поле, да не в яме! Нашего поля ягода. Не того поля ягода. Не на том поле трава выросла. Рожь в поле не околица, а пьяного речь не пословица. В чистом поле теснота: один кашу варит, да и ту окружил! Не хвались в поле едучи, хвались из поля. Солдату умереть в поле, матросу в море. Не на своем поле посеяно - выбором не выберешь, о невесте. Поле не меряно, овцы не считаны, пастух рогатый. (звезды, месяц). На поле-поляне, на высоком кургане. Наши в поле не робеют и на печке не дрожат. Ушло польце под гору! промотал. Не пришлось поле ко двору - пускай его под гору! Сутул, горбат, наперед покляп, все поле облесует, а домой придет - по щелям пойдет. (серп). Маленький, горбатенький, все поле обскакал. (серп). Маленький, горбатенький, все поле обрыщет, домой прибежит, целый год пролежит. или: под кровельку уйдет. (серп). Белая белянка по полю ходила, домой пришла, под сарай легла?(коса). В поле стоит столб, у столба сто колец, у ста колец сто плетей, у ста плетей сто молооцов. (хмель). В поле блошкой, из поля лепешкой. (репа). В поле-то - гого-гого, в лесу-то - гиги-гиги. (горох и грибы). На поле на титенском стоит дуб веретенский: кто к нему ни подойдеть, тот добром не отойдет?(репей). На поле на арекском, на рубеже татарском, стоит дерево ливанское (царское, райское), листья митрофановские, а когти дьявольские. (репейник). На поле ногайском, на рубеже на татарском, стоят столбы точеные, головы золоченые. (рожь). На поле ногайском, на рубеже татарском, лежат люди побиты, у них головы обриты. (снопы). Во поле-поляне били барана: ни крови, ни руды, а место знатко?(жниво). Широко поле карагайское, на нем много скота тараканского, один пастух, ровно ягодка. (звезды, месяц). Велико поле колыбанское, много на нем скота астраханского, один пастух, как ясенец. (небо, звезды, месяц). Есть поле сиянское, в нем много скота монастырского, один пастух, словно ясенец. (небо, звезды, месяц). Поле водочное, огород кожаный, овцы аржанские, а пастух уховский. (небо, земля, лес, леший). Поле поливанское, много скота ивановского, один пастырь и два яхонта. (небо, звезды, Бог, луна с солнцем). Во поле-полище несут голенище: в этом голенище деготь, леготь, и смерть недалече. (ружье). У тебя есть, у меня есть; у дуба в поле, у рыбы в море. (тень). Нектю по полям хождаше, главу свою ниже плеч ношаше, и прииде некто, его заклаше, власы на огне сожже, а тело на дереве повеси. (свинья).

| Поле, края, простор по сторонам, закраины. Поля шляпы, завороты тульи., Поля книги, белый простор вкруг печати, письма. Делай отметки на полях. Поле столпа, гладкая часть его, между архитравом и базой.

| Место, занятое войском, под открытым небом, лагерь, стан, обоз, табор, становище. Войско полем стало. Неприятель сбит с поля, отступает. Поле битвы, поле сраженья, место.

| ·стар. судебный поединок и место его. А досудятся до поля (т. е. коли тяжбу решить более нечем, как полем, Божьим судом), да не став у поля помирятся, судебн. В поле съезжаются, так родом не считаются, а дерутся. В поле две воли: чья сильнее (чья возьмет). До поля воля, а в поле поневоле, став у поля дерись. В поле две воли: кому Бог поможет, или чья правее, та и сильнее. В поле своя воля. Чье поле, того и воля. На поле Никола общий Бог. Кому на поле Божья помощь. Кому на бою Божья милость. Коли у поля стал (судебный поединок), так бей наповал.

| Поде зрения, сколько глаз сразу может окинуть; это треугольник, расширяющийся вдаль. Поле трубы, то же, или

| поперечник большего стекла, в мере.

| Простор для деятельности умственой, случай к тому или поприще, круг действия. У нас еще обширное поле для промыслов. Каждое новое изобретение расширяет поле изысканий.

| Охота, занятие травлей, ловлей и стрельбой зверей и дичи. Каково вчерашнее поле ваше. была ли удача. Не тогда собак кормить, когда в поле ехать. Барин в поле полюет, мужик в поле горюет. С полем! привет охотнику, заполевавшему что-либо. Не хвались в поле едучи, хвались с поля едучи. Псовая болезнь до поля, женская до постели. Отъезжее поле, псовая охота вдаль, в отъезд, на ночевую, в дальние дачи.

| Поле, нижня часть пробойки, ·т.е. связки пеньки.

1. пространство, в пределах которого проявляется действие каких-нибудь сил (спец.).

2. работа, исследовательская деятельность в природных, естественных условиях (спец.).

3. область деятельности, поприще.

4. обрабатываемая под посев земля, участок земли.

5. чистая полоса вдоль края листа в книге, тетради, рукописи.

6. край шляпы, отходящей в сторону или вниз от тульи.

7. основной цвет, фон под узором.

8. безлесная равнина, пространство.

9. большая ровная площадка, пространство, специально оборудованное, предназначенное для чего-нибудь.

особая форма материи; физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами П. ф. могут служить электромагнитное и гравитационное поля, поле ядерных сил, а также волновые (квантованные) поля, соответствующие различным частицам.

Впервые (30-е гг. 19 в.) понятие поля (электрического и магнитного) было введено М. Фарадеем (См. Фарадей). Концепция поля была принята им как альтернатива теории дальнодействия, т. е. взаимодействия частиц на расстоянии без какого-либо промежуточного агента (так интерпретировалось, например, электростатическое взаимодействие заряженных частиц по закону Кулона или гравитационное взаимодействие тел по закону всемирного тяготения Ньютона). Концепция поля явилась возрождением теории близкодействия, основоположником которой был Р. Декарт (1-я половина 17 в.). В 60-х гг. 19 в. Дж. К. Максвелл развил идею Фарадея об электромагнитном поле (См. Электромагнитное поле) и сформулировал математически его законы (см. Максвелла уравнения).

Согласно концепции поля, частицы, участвующие в каком-либо взаимодействии (например, электромагнитном или гравитационном), создают в каждой точке окружающего их пространства особое состояние - поле сил, проявляющееся в силовом воздействии на др. частицы, помещаемые в какую-либо точку этого пространства. Первоначально выдвигалась механистическая интерпретация поля как упругих напряжений гипотетической среды - "эфира". Однако наделение "эфира" свойствами упругой среды оказалось в резком противоречии с результатами проведённых позднее опытов. С точки зрения современных представлений, такая механистическая интерпретация поля вообще бессмысленна, поскольку сами упругие свойства макроскопических тел полностью объясняются электромагнитными взаимодействиями частиц, из которых состоят эти тела. Теория относительности, отвергнув концепцию "эфира" как особой упругой среды, вместе с тем придала фундаментальный смысл понятию П. ф. как первичной физической реальности. Действительно, согласно теории относительности, скорость распространения любого взаимодействия не может превышать скорости света в вакууме. Поэтому в системе взаимодействующих частиц сила, действующая в данный момент времени на какую-либо частицу системы, не определяется расположением др. частиц в этот же момент времени, т. е. изменение положения одной частицы сказывается на др. частице не сразу, а через определённый промежуток времени. Т. о., взаимодействие частиц, относительная скорость которых сравнима со скоростью света, можно описывать только через создаваемые ими поля. Изменение состояния (или положения) одной из частиц приводит к изменению создаваемого ею поля, которое отражается на др. частице лишь через конечный промежуток времени, необходимый для распространения этого изменения до частицы.

П. ф. не только осуществляют взаимодействие между частицами; могут существовать и проявляться свободные П. ф. независимо от создавших их частиц (например, Электромагнитные волны). Поэтому ясно, что П. ф. следует рассматривать как особую форму материи.

Каждому типу взаимодействий в природе отвечают определённые П. ф. Описание П. ф. в классической (не квантовой) теории поля производится с помощью одной или нескольких (непрерывных) функций поля, зависящих от координаты точки (х, у, z), в которой рассматривается поле, и от времени (t). Так, электромагнитное поле может быть полностью описано с помощью четырёх функций: скалярного потенциала φ(х, у, z, t) и вектор-потенциала А (х, у, z, t), которые вместе составляют единый четырёхмерный вектор в пространстве-времени. Напряжённости электрического и магнитного полей выражаются через производные этих функций. В общем случае число независимых полевых функций определяется числом внутренних степеней свободы частиц, соответствующих данному полю (см. ниже), например их Спином, изотопическим спином (См. Изотопический спин) и т.д. Исходя из общих принципов - требований релятивистской инвариантности (См. Релятивистская инвариантность) и некоторых более частных предположений (например, для электромагнитного поля - Суперпозиции принципа и т. н. градиентной инвариантности), можно из функций поля составить выражение для действия (См. Действие) и с помощью Наименьшего действия принципа (см. также Вариационные принципы механики) получить дифференциальные уравнения, определяющие поле. Значения функций поля в каждой отдельной точке можно рассматривать как Обобщённые координаты П. ф. Следовательно, П. ф. представляется как физическая система с бесконечным числом степеней свободы. По общим правилам механики можно получить выражение для обобщённых импульсов (См. Обобщённые импульсы) П. ф. и найти плотности энергии, импульса и момента количества движения поля.

Опыт показал (сначала для электромагнитного поля), что энергия и импульс поля изменяются дискретным образом, т. е. П. ф. можно поставить в соответствие определённые частицы (например, электромагнитному полю - Фотоны, гравитационному - Гравитоны). Это означает, что описание П. ф. с помощью полевых функций является лишь приближением, имеющим определённую область применимости. Чтобы учесть дискретные свойства П. ф. (т. е. построить квантовую теорию поля), необходимо считать обобщённые координаты и импульсы П. ф. не числами, а Операторами, для которых выполняются определённые Перестановочные соотношения. (Аналогично осуществляется переход от классической механики к квантовой механике (См. Квантовая механика).)

В квантовой механике доказывается, что систему взаимодействующих частиц можно описать с помощью некоторого квантового поля (см. Квантование вторичное). Т. о., не только каждому П. ф. соответствуют определённые частицы, но и, наоборот, всем известным частицам соответствуют квантованные поля. Этот факт является одним из проявлений корпускулярно-волнового дуализма (См. Корпускулярно-волновой дуализм) материи. Квантованные поля описывают уничтожение (или рождение) частиц и одновременно рождение (уничтожение) античастиц (См. Античастицы). Таким полем является, например, электрон-позитронное поле в квантовой электродинамике.

Вид перестановочных соотношений для операторов поля зависит от сорта частиц, соответствующих данному полю. Как показал В. Паули (1940), для частиц с целым спином операторы поля коммутируют и указанные частицы подчиняются Бозе-Эйнштейна статистике (См. Бозе - Эйнштейна статистика), в то время как для частиц с полуцелым спином они антикоммутируют и соответствующие частицы подчиняются Ферми-Дирака статистике (См. Ферми - Дирака статистика). Если частицы подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна (например, фотоны и гравитоны), то в одном и том же квантовом состоянии может находиться много (в пределе - бесконечно много) частиц. В указанном пределе средние величины квантованных полей переходят в обычные классические поля (например, в классические электромагнитное и гравитационное поля, описываемые непрерывными функциями координат и времени). Для полей, отвечающих частицам с полуцелым спином, не существует соответствующих классических полей.

Современная теория элементарных частиц строится как теория взаимодействующих квантовых П. ф. (электрон-позитронного, фотонного, мезонного и др.).

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля. 6 изд., М., 1973 (Теоретическая физика, т, 2); Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 2 изд., М., 1974.

С. С. Герштейн.