метод решения математических задач при помощи такой последовательности приближении, которая сходится к решению и строится рекуррентно (т. е. каждое новое приближение вычисляют, исходя из предыдущего; начальное приближение выбирается в достаточной степени произвольно). П. п. м. применяется для приближённого нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений, для доказательства существования решения и приближённого нахождения решений дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, для качественной характеристики решения и в ряде др. математических задач. 1) Для решения уравнения

f (x) = 0 (1)

составляют ему равносильное х = φ(х), обозначив, например, через φ(x) разность х - kf (x) (k - постоянное). Выбрав a₀ - начальное приближение к корню уðàâíåíèÿ, ñîñòàâëÿþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë a₀, a₁ = ?(a₀), a₂ = ?(a₁), ..., a_n = ?(a_n-1), ...; предел а = , если он существует, является корнем уравнения (1), а числа a₀, a₁, a₂,..., a_n,... - приближёнными значениями этого корня. Предел а будет существовать, например, если

(2)

и в качестве начального приближения a₀ взято любое число.

Обычно, когда надо найти приближённое значение корня уравнения, устанавливают достаточно узкий интервал, в котором лежит корень (например, с помощью графических методов); затем подбирают k так, чтобы условие (2) выполнялось на всём интервале; за начальное приближение a₀ выбирают любое число из этого интервала и применяют П. п. м. Практически, после того как два последовательных приближения a_n-1 и a_n совпадут с заданной степенью точности, вычисление прекращают и полагают a_n ≈ а. Пусть дано, например, уравнение f (x) = . Так как , то корень уравнения лежит в интервале . Положив , непосредственной проверкой убеждаемся, что для k = условие (2) выполняется на всём интервале . Выбирем a₀ = и применим П. п. м. к уравнению . Получим a₁ = 0,554, a₂ = 0,570, a₃ = 0,566 (на самом деле корень уравнения с тремя верными десятичными знаками равен a₄ ≈ 0,567).

2) П. п. м. применяют для приближённого решения систем линейных алгебраических уравнений с большим числом неизвестных.

Пусть дана система трёх уравнений с тремя неизвестными:

(3)

Строят ей эквивалентную систему:

(4)

полагая, например,

и, пользуясь рекуррентными формулами:

x_j = c₁₁x_j-1 + c₁₂y_j-1 + c₁₃z_j-1 + d₁

y_j = c₂₁x_j-1 + c₂₂y_j-1 + c₂₃z_j-1 + d₂

z_j = c₃₁x_j-1 + c₃₂y_j-1 + c₃₃z_j-1 + d₃

составляют последовательность (x₀, у₀, z₀), (x₁, у₁, z₁),..., (x_n, y_n, z_n),... Если x_n → α, y_n → β, z_n → γ при неограниченном увеличении n, то тройка чисел х = α, у = β, z = γ будет решением системы (3). Пределы α, β, γ заведомо существуют, каковы бы ни были начальные приближения x₀, у₀, z₀, если, например, в каждом уравнении системы (4) сумма абсолютных величин коэффициентов c_ij меньше единицы.

3) Для того чтобы найти решение у = у (х) дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию у₀ = у (х₀), записывают это уравнение в виде

и, пользуясь рекуррентной формулой

составляют последовательность функций y₁(x), у₂(х),..., y_n (x),... Если она равномерно сходится, то предел её будет искомым решением.

4) Чтобы найти решение первой краевой задачи для уравнения

выбирают произвольную дважды дифференцируемую функцию u₀(x, у) и составляют затем линейное уравнение

.

Пусть u₁ (х, у) - решение первой краевой задачи для уравнения (5); считая u₁ первым приближением, составляют уравнения типа (5) для последующих приближений. Полученная последовательность {u_n (x, у)} при некоторых предположениях сходится и даёт решение задачи.

О применимости П. п. м. см. статью Сжатых отображений принцип.

метод приближённого нахождения корня x₀ уравнения f (x) = 0, называемый также методом касательных. Н. м. состоит в том, что по исходному ("первому") приближению х = a₁ находят второе (более точное), проводя касательную к графику (см. рис.) у = f (x) в точке А [а₁ f (a₁)] до её пересечения с осью Ox; точка пересечения х = a₁ - f (a₁)/f'(a₁) и принимается за новое значение a₂. корня. Повторяя в случае необходимости этот процесс, получают всё более и более точные приближения a₂, a₃,... корня x₀ при условии, что производная f'(x) монотонна и сохраняет знак на сегменте, содержащем x₀. Ошибка ε₂ = x₀ -a₂ нового значения a₂ связана со старой ошибкой ε₁ = x₀ - a₁ формулой , где - значение второй производной функции f (x) в некоторой точке x, лежащей между x₀ и a₁. Иногда рекомендуется Н. м. применять одновременно с к.-л. другим способом, например с Линейного интерполирования методом. Н. м. допускает обобщения, которые позволяют применять его для решения уравнений F (x) = 0 в нормированных пространствах (F- оператор в этом пространстве), в частности для решения систем уравнений и функциональных уравнений. Метод разработан И. Ньютоном в 1669.

Рис. к ст. Ньютона метод.