взаимно однозначное отображение проективной плоскости (См. Проективная плоскость) или проективного пространства (См. Проективное пространство) в себя, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой (поэтому П. п. иногда называется коллинеацией). П. п. проективной прямой называется взаимно однозначное отображение её в себя, при котором сохраняется Гармоническое расположение точек этой прямой. Простейшим и вместе с тем наиболее важным для приложений примером П. п. является Гомология - П. п., оставляющее на месте прямую и точку вне её. Примером П. п. пространства является перспектива, т. е. проектирование фигуры F, лежащей в плоскости П, из точки S в фигуру F', расположенную в плоскости П', любое П. п. получается конечной последовательностью перспектив. П. п. образуют группу (См. Группа), основным инвариантом которой является Двойное отношение четырёх точек прямой. Теории инвариантов групп П. п., оставляющих на месте некоторую фигуру, представляют собой метрические геометрии (см. Проективная метрика).

Основная теорема о П. п. проективной плоскости состоит в том, что каковы бы ни были четыре точки А, В, С, D плоскости П, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и четыре точки A', B', C', D' той же плоскости, из которых никакие три также не лежат на одной прямой, существует и притом только одно П. п., которое точки А, В, С, D переводит соответственно в точки A', B', C', D'. Эта теорема применяется в номографии и аэрофотосъёмке. Аналогичная теорема имеет место и в проективном пространстве: там П. п. определяется пятью точками, из которых никакие четыре не лежат в одной плоскости. Эта теорема эквивалентна аксиоме Паппа.

В однородных координатах П. п. выражается однородным линейным преобразованием (См. Линейное преобразование), определитель матрицы которого не равен нулю. Рассматриваются также П. п. евклидовой плоскости или пространства; в декартовых координатах они выражаются дробно-линейными функциями (См. Дробно-линейная функция), причём свойство взаимной однозначности утрачивается.

Лит. см. при ст. Проективная геометрия.

преобразование, переводящее функцию f (t) действительного переменного t (0 < t < ∞), называемую "оригиналом", в функцию

(1)

комплексного переменного р =σ +iτ. Под Л. п. понимают также не только само преобразование, но и его результат - функцию F (p). Интеграл в правой части формулы (1) называется интегралом Лапласа. Он был рассмотрен П. Лапласом в ряде работ, которые объединены в его книге "Аналитическая теория вероятностей", вышедшей в 1812. Значительно раньше (в 1737) такие интегралы применял к решению дифференциальных уравнений Л. Эйлер.

При некоторых условиях, указанных ниже, Л. п. определяет функцию f (t) однозначно, в простейших случаях - по формуле обращения:

(2)

Л. п. является линейным функциональным преобразованием. Из числа основных формул Л. п. можно отметить следующие:

,

, n = 1, 2, ...,

, t >0.

Л. п. в сочетании с формулой (2) его обращения применяется к интегрированию дифференциальных уравнений. В частности, в силу свойства (1) и линейности, Л. п. решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению 1-й степени и может быть, следовательно, легко найдено. Так, если, например, у'' + у = f (t), y (0) = y' (0) = 0

и Y (p) = L [y], F (p) = L [f],

то L [y''] = p²Y (p)

и p²Y (p) + Y (p) = F (p),

откуда

Многочисленные задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности эффективно решаются методами, использующими Л. п.

Л. п. нашло особенно широкое применение в обосновании операционного исчисления (См. Операционное исчисление), в котором обычно вместо Л. п. F (p) вводится "изображение" оригинала f (t) - функция pF (p).

Современная общая теория Л. п. строится на основе интегрирования в смысле Лебега (см. Интеграл). Для применимости Л. п. к функции f (t) необходимо, чтобы f (t) была интегрируема в смысле Лебега на любом конечном интервале (0, t), t > 0 и интеграл (1) для неё сходился хотя бы в одной точке p₀ = σ₀ + iτ₀. Если интеграл (1) сходится в точке р₀, то он сходится во всех точках р, для которых Re (р-р₀) > 0. Т. о., если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости p₀, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число σ_с, что при Re p > σ_c интеграл (1) сходится, а при Re р < σ_с расходится. Число σ_с называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа. F (p) - аналитическая функция (См. Аналитические функции) в полуплоскости Re р > σ_с.

Лит.: Диткин В. А. и Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению. Основы теории и таблицы формул, М. - Л., 1951; Диткин В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., 1961; Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, пер. с нем., М., 1965.

точечные взаимно однозначные отображения (См. Отображение) плоскости (пространства) на себя, при которых прямые переходят в прямые. Если на плоскости задана декартова система координат, то любое А. п. этой плоскости может быть определено посредством т. н. невырожденного линейного преобразования координат х и у точек этой плоскости. Такое преобразование задаётся формулами х' = ах + bу + р, y' = cx + dy + q с дополнительным требованием

Аналогично, любое А. пространства может быть определено при помощи невырожденных линейных преобразований координат точек пространства. Совокупность всех А. п. плоскости (пространства) на себя образует группу (См. Группа) А. п. Это означает, в частности, что последовательное проведение двух А. п. эквивалентно некоторому одному А. п.

Примерами А. п. могут служить ортогональное прообразование (это преобразование представляет собой движение плоскости или пространства или движение с зеркальным отражением); преобразование подобия; равномерное "сжатие" (рис.). Равномерное "сжатие" с коэффициентом k плоскости π к расположенной на ней прямой а - преооразование, при котором точки а остаются на месте, а каждая не лежащая на а точка М плоскости π смещается по лучу, проходящему через М перпендикулярно а, в такую точку M', что отношение расстояний от М и М 'до а равно k; аналогично определяется равномерное "сжатие" пространства к плоскости. Всякое А. п. плоскости можно получить, выполнив некоторое ортогональное преобразование и последовательное "сжатие" к некоторым двум перпендикулярным прямым. Любое А. п. пространства можно осуществить посредством некоторого ортогонального преобразования и последовательных "сжатии" к некоторым трём взаимно перпендикулярным плоскостям. При А. п. параллельные прямые и плоскости преобразуются в параллельные прямые и плоскости. Свойства А. п. широко используются в различных разделах математики, механики и теоретической физики. Так, в геометрии А. п. применяются для т. н. аффинной классификации фигур. В механике А. п. пользуются при изучении малых деформаций непрерывной сплошной среды; при таких деформациях малые элементы среды в первом приближении подвергаются А. п.

Лит.: Мусхелишвили Н. И., Курс аналитической геометрии, 4 изд., М., 1967; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М. , 1968; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.

Э. Г. Позняк.

Аффинное преобразование плоскости (равномерное сжатие и растяжение).

в специальной теории относительности - преобразования координат и времени какого-либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта) к другой. Получены в 1904 Х. А. Лоренцом как преобразования, по отношению к которым уравнения классической микроскопической электродинамики (Лоренца - Максвелла уравнения) сохраняют свой вид. В 1905 А. Эйнштейн вывел их, исходя из двух постулатов, составивших основу специальной теории относительности: равноправия всех инерциальных систем отсчёта и независимости скорости распространения света в вакууме от движения источника света.

Рассмотрим частный случай двух инерциальных систем отсчёта ∑ и ∑' с осями х и x', лежащими на одной прямой, и соответственно параллельными другими осями (у и y', z и z'). Если система ∑' движется относительно ∑ с постоянной скоростью υ в направлении оси х, то Л. п. при переходе от ∑ к ∑' имеют вид:

,

где с - скорость света в вакууме (штрихованные координаты относятся к системе ∑', нештрихованные - к ∑).

Л. п. приводят к ряду важных следствий, в том числе к зависимости линейных размеров тел и промежутков времени от выбранной системы отсчёта, к закону сложения скоростей в теории относительности и др. При скоростях движения, малых по сравнению со скоростью света (υ<<c), Л. п. переходят в преобразования Галилея (см. Галилея принцип относительности), справедливые в классической механике Ньютона.

Подробнее см. Относительности теория; см. также литературу при этой статье.

Г. А. Зисман.

Рис. к ст. Лоренца преобразования.