геометрической фигуры, число, равное единице, если фигура есть линия; равное двум, если фигура есть поверхность; равное трём, если фигура представляет собой тело. С точки зрения аналитической геометрии Р. фигуры равна числу координат, нужных для определения положения лежащей на этой фигуре точки; например, положение точки на кривой определяется одной координатой, на поверхности - двумя координатами, в трёхмерном пространстве - тремя координатами. Геометрия до середины 19 в. занималась только фигурами первых трёх Р. С развитием в середине 19 в. понятия о многомерном пространстве (См.
Многомерное пространство)
геометрия начинает заниматься фигурами любой Р. Простейшими фигурами размерности
m являются
m-мерные многообразия (См.
Многообразие);
m-мерное многообразие, расположенное в
n-меpном пространстве, задаётся при помощи
n - m уравнений (например, линия, т
. е. одномерное многообразие, в трёхмерном пространстве задаётся 3 - 1 = 2 уравнениями). Положение точки на
m-мерном многообразии определяется "криволинейными" координатами (например, положение точки на сфере определяется её "географическими координатами" - долготой и широтой; аналогично на торе). Приведённые выше положения справедливы лишь при некоторых ограничительных предположениях. Действительно общее определение Р. любого замкнутого ограниченного множества, лежащего в
n-mepном евклидовом пространстве, было дано П. С.
Урысоном
: оказывается, для того чтобы такое множество имело
размерность ≤
m, необходимо и достаточно, чтобы оно при любом ε > 0 допускало ε
-Покрытие (замкнутыми множествами, имеющими кратность ≤
n + 1). Приведённое выше общее определение Р. допускает естественное обобщение на очень широкие классы топологических пространств (См.
Топологическое пространство)
. Урысон построил в 1921 теорию Р. - одну из глубоких теорий современной топологии. Своим дальнейшим развитием теория Р. обязана главным образом советским математикам (П. С. Александров, Л. С. Понтрягин и др.).
физической величины, выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица физической величины при изменении единиц величин, принятых в данной системе за основные. Р. представляет собой одночлен, составленный из произведения обобщённых символов основных единиц в различных (целых или дробных, положительных или отрицательных) степенях, которые называются показателями Р. Так, например, Р. скорости
LT-1, где
Т представляет собой Р. времени, а
L - Р. длины. Эти символы обозначают единицы времени и длины независимо от их конкретного размера (секунда, минута, час, метр, сантиметр и т.д.). В ряде случаев Р. позволяет устанавливать связи между соответствующими величинами (подробнее см.
Размерностей анализ).