задача о наиболее рациональном плане перевозок однородного продукта из пунктов производства â ïóíêòû ïîòðåáëåíèÿ. Ïóñòü èìååòñÿ m ïóíêòîâ ïðîèçâîäñòâà íåêîåãî îäíîðîäíîãî ïðîäóêòà A₁, ..., A_i, ..., A_m è n ïóíêòîâ åãî ïîòðåáëåíèÿ B₁, ..., B_j, ..., B_n.  ïóíêòå A_i (i = 1, ..., m) ïðîèçâîäèòñÿ a_i åäèíèö, à â ïóíêòå B_j (j = 1, ..., n) потребляется b_j единиц продукта. Предполагается, что . Транспортные издержки, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта A_i в пункт B_j, равны c_ij. Суть Т. з. состоит в составлении оптимального плана перевозок, минимизирующего суммарные транспортные издержки, при ðåàëèçàöèè êîòîðîãî çàïðîñû âñåõ ïóíêòîâ ïîòðåáëåíèÿ B_j, j = 1, ..., n, áûëè áû óäîâëåòâîðåíû çà ñ÷¸ò ïðîèçâîäñòâà ïðîäóêòà â ïóíêòàõ A_i, i = 1, ..., m. Пусть x_ij - коëè÷åñòâî ïðîäóêòà, ïåðåâîçèìîãî èç ïóíêòà A_i â ïóíêò B_j. Òîãäà Ò. ç. ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ x_ij, i = 1, ..., m; j = 1, ..., n, минимизирующих суммарные транспортные издержки.

при условиях

, i=1, ..., m; (1)

, j = 1, ..., n; (2)

, i=1, ..., m; j = 1, ..., n; (3)

Íàáîð ÷èñåë x_ij, i = 1, ..., m; j = 1, ..., n, удовлетворяющий этим условиям, называется планом перевозок, а его элементы - перевозками.

Т. з. решают специальными методами линейного программирования (См. Линейное программирование).

Лит.: Гольштейн Е. Г., Юдин Д. Б., Задачи линейного программирования транспортного типа, М., 1969.

задача о бродячем торговце, одна из известных задач конечной математики (См. Конечная математика); в простейшем случае формулируется следующим образом: даны n городов и известны расстояния между каждыми двумя городами; коммивояжёр, выходящий из какого-нибудь города, должен посетить n - 1 других городов и вернуться в исходный. В каком порядке ему нужно посещать города (по одному разу каждый), чтобы общее пройденное расстояние было минимальным. К такого типа задачам, связанным с объездом ряда пунктов и возвращением в исходную точку, относятся: задачи доставки продуктов питания в магазины, подвода электроэнергии к потребителям, построения кольцевой линии электропередач, различные задачи, возникающие при автоматизации монтажа схем, и т.д. Такова, например, задача отыскания оптимальной программы работы автоматического фрезерного станка для просверливания отверстий в заданных точках панели радиоприёмника, то есть нахождения такого порядка прохождения этих точек, при котором длина маршрута головки сверла была бы минимальной. Здесь начало маршрута не обязательно должно совпадать с его концом, но математически такая постановка сводится к приведенной выше простейшей К. з. Методы решения К. з., по существу, сводятся к организации полного перебора вариантов; никакого эффективного алгоритма не известно.

Лит.: Мудров В. И., Задача о коммивояжёре, М., 1969; Гольштеин Е. Г., Юдин Д. Б., Новые направления в линейном программировании, М., 1966.

В. П. Козырев.

задача об отыскании гармонической функции (См. Гармонические функции) по её значениям, заданным на границе рассматриваемой области.

задачи, в которых из некоторого класса функций, определённых в данной области, требуется найти ту, которая удовлетворяет на границе (крае) этой области заданным условиям. Функции, описывающие конкретные явления природы (физические, химические и др.), как правило, представляют собой решения уравнений математической физики, выведенных из общих законов, которым подчиняются эти явления. Когда рассматриваемые уравнения допускают целые семейства решений, дополнительно задают так называемые краевые или начальные условия, позволяющие однозначно выделить интересующее нас решение. В то время, как краевые условия задаются исключительно на граничных точках области, где ищется решение, начальные условия могут оказаться заданными на определённом множестве точек внутри области. Например, уравнение

(1)

имеет бесконечное множество решений u (x₁, х₂) = f (x₁+x₂) + f₁(x₁-x₂), где f и f₁ - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Однако в прямоугольнике -а ≤ x₂ ≤ a, 0 ≤ x₁ ≤ l, плоскости с прямоугольными декартовыми координатами x₁, x₂ уравнение (1) имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым

u (0, x₂) = 0, u (l, x₂) = 0, -а ≤ x₂ ≤ a, (2)

и начальным

u (x₁, 0) = φ(x₁),

(3)

условиям. При этом дважды непрерывно дифференцируемые функции φ и ψ считаются наперёд заданными. Если переменное x₂ есть время t, то решение u (х, t) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (3), описывает колебание упругой струны длины l с концами, закрепленными в точках (0, 0) и (0, l). Изложенная задача нахождения решения уравнения (1) при условиях (2) и (3) - простейший пример так называемой смешанной задачи.

Вообще краевыми называют задачи, в которых в заданной области G пространства независимых переменных (x₁,..., x_n) = х ищется решение u (х) = u (x₁,..., x_n) уравнения

Du (x) = 0, x ∈ G (4)

при требовании, что искомая функция u (х) на границе S области G удовлетворяет краевому (граничному) условию

Bu (у) = 0, y ∈ S, (5)

где D и В - заданные операторы, причём, как правило, D - дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор. Граница S называется носителем краевых данных (5).

Когда операторы D и В линейны, К. з. (4), (5) называется линейной. В предположениях, что S является (n - 1)-мерной гиперповерхностью, D - линейным дифференциальным оператором второго порядка

,

а

,

где A_{i, j}, B_i, C, F, f - заданные функции, задача (4), (5) называется первой краевой задаей Дирихле. Если же

,

где a_i, i = 1,..., n, f - заданные функции, то задача (4), (5) называется задачей наклонной (косой) производной. В частности, когда вектор (a₁,..., a_n) совпадает с конормалью к S, задача наклонной производной носит название второй краевой задачи, или задачи Неймана. Задача Дирихле (Неймана) называется однородной, если

F (x) = 0, f (y) = 0.

Задачи Дирихле и Неймана хорошо исследованы в ограниченных областях с достаточно гладкой границей в случае равномерной эллиптичности оператора D с действительными коэффициентами, т. е. при соблюдении условий

, x ∈ G ∪S (6)

где λ₁,..., λ_n - произвольные действительные параметры, а k₀ и k₁ - фиксированные отличные от нуля числа одинакового знака.

При требовании достаточной гладкости коэффициентов операторов D и В и равномерной эллиптичности оператора D справедливы следующие утверждения: 1) число k линейно независимых решений однородной задачи Дирихле (Неймана) конечно; 2) для разрешимости задачи Дирихле (Неймана) необходимо и достаточно, чтобы функции F (x) и f (y) были подчинены дополнительным ограничениям типа условий ортогональности, число которых равно k; 3) при соблюдении условия

С (x) ≤ 0, x ∈ G,

задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение; 4) в области G достаточно малого диаметра задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение и 5) при однозначной разрешимости задачи Дирихле (Неймана) малое изменение краевых данных вызывает малое изменение решения (т. е. решение устойчиво).

Когда D представляет собой оператор Лапласа , решение задачи Дирихле в ограниченной области с достаточно гладкой границей всегда существует и единственно, причём для некоторых областей частного вида оно выписывается в явном виде. Так, например, при n = 1 в интервале -1 < х < 1 это решение имеет вид

u (х) = ,

где f₁= u (-1), f₂ = u (1), а при n = 2 и n = 3, соответственно, в круге |x| < 1 и шаре |x| < 1

,

,

где |х-у| - расстояние между точками х и у. Линейную К. з. называют фредгольмовой, если для неё имеют место сформулированные выше утверждения 1) - 5).

В К. з. для эллиптических уравнений обычно предполагается, что носителем краевого условия является вся граница S области G.

Если условие (6) равномерной эллиптичности не удовлетворено, но оператор D является эллиптическим в том смысле, что квадратичная форма в области D положительно (или отрицательно) определена, то иногда для сохранения фредгольмовости К. з. вполне определённую часть границы S области G следует освободить от краевых данных.

Линейная К. з. даже при требовании равномерной эллиптичности дифференциального оператора D, вообще говоря, не является фредгольмовой. В частности, задача наклонной производной может не оказаться фредгольмовой, если вектор (a₁..., a_n) в некоторых точках границы S лежит в касательной к S плоскости.

Когда дифференциальный оператор D не является эллиптическим, К. з. (4), (5) может вовсе не иметь содержательного смысла, если часть границы S области G не освободить от краевых данных и на структуру носителя краевых данных не наложить определённые (порой весьма сильные) ограничения. Так, например, уравнение теплопроводности

,

являющееся типичным представителем уравнений параболического типа, в квадрате, ограниченном прямыми: x₁ = 0, x₁ = 1, x₂ = 0, x₂ = 1, имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым условиям:

u (0, x₂) = f (x₂), 0 ≤ x₂ ≤ 1

u (x₁,0) = φ(x₁), 0 ≤ x₁ ≤ 1

u (1, x₂) = ψ(x₂), 0 ≤ x₂ ≤ 1

f (0) = φ(0), ψ(0) = φ(1)

при произвольных достаточно гладких данных f, φ. ψ. Следовательно, краевое условие u (x₁,1) = θ(x₁), 0 ≤ x₁ ≤ 1, уже нельзя задавать произвольно. Точно так же рассмотренное выше простейшее уравнение гиперболического типа (1) в квадрате, ограниченном прямыми: x₁ + x₂ = 0, x₁ - x₂ = 0, x₁ + x₂ = 1, x₁ - x₂ = -1, имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым условиям:

u (x₁, x₁) = f (x₁), 0 ≤ x₁ ≤ ¹/₂

u (x₁,-x₁) = φ(x₁), -¹/₂ ≤ x₁ ≤ 0

f (0) = φ(0)

при произвольных достаточно гладких данных f и φ. Очевидно, что в рассмотренном случае краевые значения u (x₁,1+x₁), -¹/₂ ≤ x₁ ≤ 0, и u (х₁, 1-x₁), 0 ≤ x₁ ≤ ¹/₂, не могут быть заданы произвольно.

Особо ставятся К. з., когда в разных частях рассматриваемой области G дифференциальный оператор D принадлежит различным (эллиптическим, гиперболическим и параболическим) типам [т. е. когда уравнение (4) является уравнением смешанного типа].

Для исследования К. з. широко используются методы интегральных уравнений (потенциала), априорных оценок и конечных разностей.

Лит.: Бернштеин С. Н., Собр. соч., т. 3, [М.], 1960; Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; Векуа И. Н., Новые методы решения эллиптических уравнений, М.- Л., 1948; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М., 1967; Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосибирск, 1962; Тихонов А. Н., Самарский Д. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

А. В. Бицадзе.