задача о разделении угла на три равные части. Наряду с двумя другими классическими задачами древнегреческой математики (квадратурой круга (См. Квадратура круга) и удвоением куба (См. Удвоение куба)) Т. у. сыграла большую роль в развитии математических методов. Первоначально решение Т. у. стремились найти с помощью простейших геометрических средств - циркуля и линейки (без делений, рассматриваемой как инструмент для проведения прямых линий), что удавалось, однако, лишь в отдельных случаях (например, для углов в 90° и 90°/2ⁿ, где n - натуральное число). Строгое доказательство невозможности точной Т. у. в общем случае с помощью циркуля и линейки (то есть неразрешимости в квадратичных радикалах кубического уравнения, к которому сводится Т. у.) дано лишь в 19 в. Задача о Т. у. становится разрешимой, если для неё расширить средства построения. Так, в сочинениях Архимеда (3 в. до н. э.) Т. у. производится с помощью так называемого приёма "вставки", осуществляемого циркулем и линейкой с делениями. Именно (рис.) решение задачи о Т. у. ABC приводится к вставке отрезка EF = BA (для этого точки Е и F отмечаются на линейке) между продолжением диаметра AD и окружностью так, чтобы продолжение EF прошло через С, тогда ∠AEF = ∠ABC.

Рис. к ст. Трисекция угла.

пары углов с общей вершиной, образуемые при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. На рис. - две пары В. у.

Рис. к ст. Вертикальные углы.

'УГОЛ, угла, об угле, на (в) углу и (мат.) в угле, ·муж.

1. Часть плоскости между двумя прямыми линиями, исходящими из одной точки (мат.). Вершина угла. Стороны угла. Измерение угла градусами. Прямой угол. (90°). Острый угол (менее 90°). Тупой угол (более 90°). Двугранный угол (образованный двумя плоскостями). Многогранный или телесный угол (образованный несколькими плоскостями). В этом угле 30°.

2. Такая фигура как мера для измерения чего-нибудь (спец.). Угол рассеяния света. Угол падения равен углу отражения. Угол прицела. Угол склонения. Угол дрейфа судна. Угол зрения.

3. Место, где сходятся две внешние стороны предмета. Угол стола. Угол дома. Завернуть за угол.

| место пересечения двух улиц. На углу улицы и переулка. Милицейский пост на углу. Выйти на угол. Стоять на углу.

4. Место, где сходятся две внутренние стороны предмета. "Сел в угол и стал смотреть в книгу." Гончаров. "Старик тыкнул пальцем в другой угол комнаты." Гоголь. "Мой волк сидит, прижавшись в угол задом." Крылов. Поставить стол в угол. Стол стоит в углу.

5. Часть комнаты, сдаваемая в наем. "Он сторговал первый встречный угол и через час переехал." Достоевский. Сдавать углы.

6. Вообще - место, помещение. "Хозяйка! Нет ли в избе другого угла?" Пушкин. "Собеседники, минуя спавшего в передней казачка, разбрелись по своим углам." А.Тургенев. Искать по всем углам.

| перен. Приют, пристанище, место, где жить. - Он мне угол даст. "Назябся уж я, наголодался." А.Островский. "Иметь дома свой стол, чай, словом, свой угол - un chez-soi, как говорят французы." Гончаров. Иметь свой угол. Нет своего угла.

| перен. Местность, обычно отдаленная. "Назови мне такую обитель, я такого угла не видал..." Некрасов. Медвежий угол. (см. медвежий
). Жить в глухом углу.

7. В карточных играх - четверть ставки, при объявлении которой *****

задача о наиболее рациональном плане перевозок однородного продукта из пунктов производства â ïóíêòû ïîòðåáëåíèÿ. Ïóñòü èìååòñÿ m ïóíêòîâ ïðîèçâîäñòâà íåêîåãî îäíîðîäíîãî ïðîäóêòà A₁, ..., A_i, ..., A_m è n ïóíêòîâ åãî ïîòðåáëåíèÿ B₁, ..., B_j, ..., B_n.  ïóíêòå A_i (i = 1, ..., m) ïðîèçâîäèòñÿ a_i åäèíèö, à â ïóíêòå B_j (j = 1, ..., n) потребляется b_j единиц продукта. Предполагается, что . Транспортные издержки, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта A_i в пункт B_j, равны c_ij. Суть Т. з. состоит в составлении оптимального плана перевозок, минимизирующего суммарные транспортные издержки, при ðåàëèçàöèè êîòîðîãî çàïðîñû âñåõ ïóíêòîâ ïîòðåáëåíèÿ B_j, j = 1, ..., n, áûëè áû óäîâëåòâîðåíû çà ñ÷¸ò ïðîèçâîäñòâà ïðîäóêòà â ïóíêòàõ A_i, i = 1, ..., m. Пусть x_ij - коëè÷åñòâî ïðîäóêòà, ïåðåâîçèìîãî èç ïóíêòà A_i â ïóíêò B_j. Òîãäà Ò. ç. ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ x_ij, i = 1, ..., m; j = 1, ..., n, минимизирующих суммарные транспортные издержки.

при условиях

, i=1, ..., m; (1)

, j = 1, ..., n; (2)

, i=1, ..., m; j = 1, ..., n; (3)

Íàáîð ÷èñåë x_ij, i = 1, ..., m; j = 1, ..., n, удовлетворяющий этим условиям, называется планом перевозок, а его элементы - перевозками.

Т. з. решают специальными методами линейного программирования (См. Линейное программирование).

Лит.: Гольштейн Е. Г., Юдин Д. Б., Задачи линейного программирования транспортного типа, М., 1969.

плоский, геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами У.), выходящими из одной точки (вершины У.). Всякий У., имеющий вершину в центре О некоторой окружности (центральный У.), определяет на окружности дугу AB, ограниченную точками пересечения окружности со сторонами У. Это позволяет свести измерение У. к измерению соответствующих дуг. У. измеряются Градусами или Радианами. Угол, образованный продолжением сторон данного У., называется вертикальным к данному; У., образованный одной из сторон данного У. и продолжением другой стороны, - смежным с ним.

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать У. как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения.

В этом случае У. является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие У.: в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные У., рассматривают У., большие 180°, У., равные 0°, и т.д. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать Тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Под У. между двумя кривыми, выходящими из общей точки, в которой каждая из кривых имеет определённую касательную, понимают У., образованный этими касательными. Понятие У. обобщается также на различные объекты, рассматриваемые в стереометрии. Так, под У. между прямой и плоскостью в пространстве понимают У. между этой прямой и её проекцией на плоскость, под У. между двумя скрещивающимися прямыми - У. между параллельными им прямыми, проведёнными через одну и ту же точку. См. также Двугранный угол, Многогранный угол, Телесный угол.