дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для теории У. м. ф. характерна постановка задач в таком виде, как это необходимо при исследовании физического явления. Круг У. м. ф. с расширением области применения математического анализа также неуклонно расширяется. При систематизации полученных результатов появляется необходимость включить в теорию У. м. ф. уравнения и задачи более общего вида, чем те, которые появляются при анализе конкретных явлений; однако и для таких уравнений и задач характерно то, что их свойства допускают более или менее наглядное физическое истолкование (см. Математическая физика).

Классификация уравнений математической физики. Значительная часть У. м. ф. составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:

, (1)

где все коэффициенты a_ij (a_ij = a_ij), b_i, с и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x₁, x₂,..., х_п (n ≥ 2), а u - искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно λ) уравнения

= 0, (2)

и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками. Если все n корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n - 1 корней, - к гиперболическому типу; наконец, если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, - к параболическому типу. Если коэффициенты a_ij постоянны, то уравнение (1) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x₁,..., х_п, то и корни уравнения (2) зависят от x₁,..., х_п, а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).

Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна.

Основные примеры уравнений математической физики.

Волновое уравнение:

- простейшее уравнение гиперболического типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой части которых добавлены известные функции) - Телеграфное уравнение и т.д. Уравнения и системы этого типа появляются при анализе различных колебаний и волновых процессов. Свойства уравнений и систем гиперболического типа во многом аналогичны свойствам приведённых простейших таких уравнений.

Лапласа уравнение:

- простейшее уравнение эллиптического типа и соответствующее неоднородное уравнение - Пуассона уравнение. Уравнения и системы эллиптического типа появляются обычно при анализе стационарных состояний. Теплопроводности уравнение:

- простейший пример уравнения параболического типа. Уравнения и системы параболического типа появляются обычно при анализе процессов выравнивания.

Первым примером уравнений смешанного типа явилось т. н. уравнение Трикоми:

Для этого уравнения полуплоскость служит зоной эллиптичности, полуплоскость у < 0 - зоной гиперболичности, а прямая у = 0 - зоной параболичности.

Ряд задач математической физики приводит к интегральным уравнениям (См. Интегральные уравнения) различных типов. Так, например, интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимого переменного (например, времени, энергии и т.д.). В задаче о крутильных колебаниях возникает некоторое интегро-дифференциальное уравнение (См. Интегро-дифференциальные уравнения).

Постановка задач и методы решения уравнений математической физики. На первом этапе развития теории У. м. ф. много усилий было затрачено на отыскание их общего решения. Уже Ж. Д'Аламбер (1747) получил общее решение волнового уравнения. Основываясь на подстановках, применявшихся Л. Эйлером (1770), П. Лаплас предложил (1773) "каскадный метод", дающий общее решение некоторых др. линейных однородных гиперболических уравнений 2-го порядка с двумя аргументами. Однако такое общее решение удалось найти в весьма редких случаях; в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными не выделено ни одного сколько-нибудь значительного класса уравнений, для которых общее решение может быть получено в виде достаточно простой формулы. Кроме того, оказалось что при анализе физических процессов У. м. ф. обычно появляются вместе с дополнительными условиями, характер которых коренным образом влияет на направление исследования решения (см. Краевые задачи, Коши задача).

Широкое распространение получили методы приближённого решения краевых задач, в которых задача сводится к решению системы алгебраических (обычно линейных) уравнений (см. Ритца и Галёркина методы. Сеток метод). При этом за счёт увеличения числа неизвестных в системе можно достичь любой степени точности приближения.

Лит.: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Годунове. К., Уравнения математической физики, М., 1971; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972.

понятие теории дифференциальных уравнений. Уравнением, сопряжённым с дифференциальным уравнением

, (1)

называется уравнение

, (2)

Соотношение сопряженности взаимно. Для С. д. у. имеет место тождество

,

где ψ (у, z) - билинейная форма относительно у, z и их производных до (n - 1)-го порядка включительно. Знание k интегралов сопряжённого уравнения позволяет понизить на k единиц порядок данного уравнения. Если

y₁, у₂,... у_n (3)

- фундаментальная система решений уравнения (1), то фундаментальная система решений уравнения (2) даётся формулами

(i = 1, 2, ..., n),

где Δ - определитель Вроньского (см. Вронскиан) системы (3). Если для уравнения (1) заданы краевые условия, то существуют сопряжённые с ними краевые условия для уравнения (2) такие, что уравнения (1) и (2) с соответствующими краевыми условиями определяют сопряжённые дифференциальные операторы (см. Сопряжённые операторы). Понятие сопряженности обобщается также на системы дифференциальных уравнений и на уравнения с частными производными.

Государственного комитета по использованию атомной энергии СССР (ИФВЭ), научно-исследовательское учреждение, в котором ведутся экспериментальные исследования явлений, происходящих при столкновениях частиц высоких энергий, с целью изучения фундаментальных законов взаимодействия элементарных частиц и их структуры. Институт расположен в пос. Протвино Московской обл. (близ г. Серпухов). В институте работают (1976) академик АН СССР А. А. Логунов, члены-корреспонденты АН СССР А. А. Наумов и Ю. Д. Прокошкин.

Исследования ведутся на базе крупнейшего в СССР ускорительного комплекса ИФВЭ. Ускорительный комплекс ИФВЭ включает следующие основные системы: линейный ускоритель - инжектор, ускоряющий протоны до энергии 100 Мэв; сильнофокусирующий протонный синхротрон, ускоряющий протоны до энергии 76 Гэв; системы вывода и каналов частиц, формирующих пучки заряженных частиц и проводящих их к физическим установкам. Сооружение ускорителя было начато в 1961, запуск осуществлен в 1967. Интенсивность пучка ускорителя составляет 5․10¹³ протонов за цикл (1976), частота повторения - 8 циклов в 1 мин. В настоящее время (1977) ведутся работы по сооружению новой системы инжекции - бустера, которая обеспечит повышение интенсивности до 5․10¹³ протонов за цикл.

На ускорителе работает большой комплекс каналов различных частиц, в том числе уникальные каналы сепарированных частиц, а также крупные экспериментальные установки: сцинтилляционные, черенковские и полупроводниковые счётчики, искровые и пузырьковые камеры "Людмила" (построена в ОИЯИ), "Мирабель" (построена в Сакле, Франция) и СКАТ (построена в ИФВЭ). На базе нейтринного канала и одной из крупнейших в мире фреоновой камеры СКАТ с рабочим объёмом 6 м³ ведутся нейтринные эксперименты. Для анализа экспериментальной информации применяются автоматические и полуавтоматические устройства и современная вычислительная техника.

В ИФВЭ получен ряд фундаментальных результатов. Впервые предложен и разработан новый подход к изучению процессов множественной генерации частиц (т. н. инклюзивные процессы, см. Сильные взаимодействия). Обнаружена универсальность в поведении сечений инклюзивных процессов, что привело к открытию законов подобия в микромире - "масштабной инвариантности". Изучение инклюзивных процессов стало одним из основных направлений исследований многих лабораторий мира. Экспериментально установлены новые закономерности в поведении полных сечений (серпуховский эффект). Показано, что радиус действия ядерных сил растет с увеличением энергии сталкивающихся частиц. Экспериментальное изучение антивещества привело к открытию ядер антигелия и антитрития. Открыта новая частица h-мезон с массой около 2 Гэв н спином 4.

В исследованиях на ускорителе ИФВЭ участвуют учёные из различных институтов СССР, Объединённого института ядерных исследований (Дубна), Европейского центра ядерных исследований (Женева), лабораторий стран Западной Европы и США.

В. А. Ярба.

1) в механике - динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.

Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

I_xω̇_x + (I_z - I_y) ω_yω_z = M_x,

I_y + (I_x - I_z) ω_zω_x = M_y, (1)

I_zω̇_z + (I_y - I_x) ω_xω_y = M_z,

где I_x, I_y, I_z - моменты инерции (См. Момент инерции) тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, ω_х, ω_у, ω_z - проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, M_x, M_y, M_z - гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; ω̇_x, , ω̇_z - проекции углового ускорения.

Кинематические Э. у. дают выражения ω_х, ω_у, ω_z через Эйлеровы углы φ, ψ, θ и имеют вид

ω_x= Ψ̇sin θ sinφ + θ̇cosφ,

ω_у= Ψ̇sin θ cosφ - θ̇sinφ, (2)

ω_z= + cos θ.

Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

2) В гидромеханике - дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность ρ, проекции скоростей частиц жидкости u, υ, ω и проекции действующей объёмной силы X, У, Z рассматривать как функции координат x, у, z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:

,

,

.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить u, υ, ω, р, ρ, как функции х, у, z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера

.

В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния ρ = φ (р) (или ρ - const, когда жидкость несжимаема).

Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.

Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.

С. М. Тарг.