Введите слово или словосочетание на любом языке 👆
Язык:
Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT
На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:
- как употребляется слово
- частота употребления
- используется оно чаще в устной или письменной речи
- варианты перевода слова
- примеры употребления (несколько фраз с переводом)
- этимология
Что (кто) такое ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ: ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО - определение
ФУНКЦИЯ, ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗНАЧЕНИЙ КОТОРОЙ - ПОДМНОЖЕСТВА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Функция комплексной переменной; Функция комплексного переменного; Функции комплексного переменного
Найдено результатов: 1307
ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ: ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
К статье ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ
Под "функциями комплексного переменного" обычно принято понимать аналитические (или голоморфные) функции, особый класс функций, представимых степенными рядами. По традиции этот предмет был и в определенной степени продолжает оставаться в самом центре математического анализа; и хотя теория функций комплексного переменного необычайно важна как активно развивающаяся область чистой математики, своим существованием и в значительной мере своим высоким престижем теория функций комплексного переменного обязана успехам в решении проблем прикладной математики в таких областях, как теория дифференциальных уравнений, гидродинамика и теория потенциала. Известная ранее под общим названием "теория функций", эта теория обрела независимое существование в конце 19 в., когда под давлением более строгого истолкования понятий множества, числа, интеграла и производной произошло разделение между теорией функций действительного переменного и теорией функций комплексного переменного.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Теория эллиптических функций; Эллиптические функции
функции, связанные с интегралами, содержащими квадратные корни из многочленов 3-й или 4-й степеней (появляются, напр., при вычислении длины дуги эллипса).
Эллиптическая функция
Теория эллиптических функций; Эллиптические функции
Эллиптическая функция — в комплексном анализе периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период).
Эллиптические функции
Теория эллиптических функций; Эллиптические функции
функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (См. Эллиптические интегралы). Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.
Подобно тому как тригонометрическая функция u = sinx является обратной по отношению к интегралу
так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода
где z = sin φω, k - модуль эллиптического интеграла, порождает функции: φ = am z - амплитуда z (эта функция не является Э. ф.) и ω = sn z = sin (am z) - синус амплитуды. Функции cn - косинус амплитуды и dn z - дельта амплитуды определяются формулами
Функции sn z, cn z, dn z называют Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением
sn2z + cn2z = k2sn2z + dn2z = 1.
На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением
sn2z + cn2z = k2sn2z + dn2z = 1
На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби для действительного x и 0 < k < 1; а
- полный нормальный эллиптический интеграл 1-го рода и 4K - основной период Э. ф. sn z. В отличие от однопериодической функции sin х, функция sn z - двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2iK, где
и 
- дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э. ф. Якоби приведены в таблице, где m и n - любые целые числа.
Э. ф. Вейерштрасса ℙ(х) может быть определена как обратная нормальному эллиптическому интегралу Вейерштрасса 1-го рода
где параметры g2 и g2 - называются инвариантами ℙ(x). При этом предполагается, что нули e1, e2 и e3 многочлена 4t3 - g2t - g3 различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Э. ф. Вейерштрасса ℙ(х) связана с Э. ф. Якоби следующими соотношениями:
Любая мероморфная двоякопериодическая функция f (z) с периодами ω1 и ω2, отношение которых мнимо, т. е. f (z + mω1 + пω2) = f (z) при m, n = 0, ±1, ±2,... и 
, является Э. ф. Для построения Э. ф., а также численных расчётов применяют Сигма-функции и Тэта-функции.
Изучению Э. ф. предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое изложение теории которых дал А. Лежандр. Основоположниками теории Э. ф. являются Н. Абель (1827) и К. Якоби (1829). Последний дал развёрнутое изложение теории Э. ф., названное его именем. В 1847 Ж. Лиувилль опубликовал изложение основ общей теории Э. ф., рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические функции. Представление Э. ф. через ℙ-функцию, а также ζ-, σ-функции дано К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Э. ф.).
Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; Уиттекер Э, Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, пер. с англ., М., 1967.
Рис. к ст. Эллиптические функции.
Комплексная функция
Комплексная функция — основной объект изучения теории функций комплексной переменной, комплекснозначная функция комплексного аргумента: f\colon\Complex \to \Complex.
R-функция
R-функции; Функция Рвачева; Функции Рвачева; RFM; Теория R-функций
R-функция (функция Рвачёва) — числовая функция действительных переменных, знак которой вполне определяется знаками её аргументов при соответствующем разбиении числовой оси на интервалы (-\infty,0) и [0,\infty). Впервые R-функции были введены в работах В. Л. РвачёваРвачёв В. Л. Геометрические приложения алгебры логики. — Киев: Техніка, 1967.Рвачёв В. Л. Методы алгебры логики в математической физике. — Киев: Наук. думка, 1974.Рвачёв В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наук. думка 1982.. В отличие от классической аналитической геометрии в теория R-фун�
Теория приближений
Аппроксимация функций; Теория аппроксимации
Теория приближений — раздел математики, изучающий вопрос о возможности приближённого представления одних математических объектов другими, как правило более простой природы, а также вопросы об оценках вносимой при этом погрешности. Значительная часть теории приближения относится к приближению одних функций другими, однако есть и результаты, относящиеся к абстрактным векторным или топологическим пространствам.
Ортонормированная система
Ортонормированная система функций; Ортонормированные функции
Ортонорми́рованная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму.
ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ
СТРАНИЦА ЗНАЧЕНИЙ
Функций теория
раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что обычно их рассматривают порознь. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что по существу речь идет о различии, с одной стороны, в детальном изучении основных понятий математического анализа (таких, как непрерывность, дифференцирование, интегрирование и т.п.), а с другой стороны, в теоретическом развитии анализа конкретных функций, представимых степенными рядами. Одним из достижений теории функций действительного переменного стало создание хорошей теории интегрирования, которую мы рассмотрим ниже. См. также АНАЛИЗ В МАТЕМАТИКЕ
; МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
; ФУНКЦИЯ
; ЧИСЛО
; РЯДЫ
; МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
; ТОПОЛОГИЯ
.
; МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
; ФУНКЦИЯ
; ЧИСЛО
; РЯДЫ
; МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
; ТОПОЛОГИЯ
.
См. также:
Функций теория
СТРАНИЦА ЗНАЧЕНИЙ
Функций теория
раздел математики, в котором изучаются общие свойства функций (См. Функции). Ф. т. распадается на две части: теория функций действительного переменного и теория функций комплексного переменного.
В "классическом" математическом анализе основным объектом изучения являются непрерывные функции (См. Непрерывная функция), заданные на (конечных или бесконечных) интервалах и обладающие более или менее высокой степенью гладкости. Однако уже со 2-й половины 19 в. развитие математики всё настоятельнее стало требовать систематического изучения функций более общего типа. Основной причиной этого является то, что Предел последовательности непрерывных функций может быть разрывен. Иными словами, класс непрерывных функций оказывается незамкнутым относительно важнейшей операции анализа - предельного перехода. В связи с этим функции, определяемые при помощи таких классических средств, как тригонометрические ряды, часто оказываются разрывными или недифференцируемыми. По той же причине могут быть разрывны производные непрерывных функций и т.п. Наконец, дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении физических задач, иногда не имеют решений в классе достаточно гладких функций, но имеют их в более широких классах функций (если надлежащим образом сообщить само понятие решения). Весьма важно, что именно эти обобщённые решения (см. Обобщённые функции) и дают ответ на исходную физическую задачу. Эти и аналогичные им обстоятельства стимулировали создание Ф. т. действительного переменного.
Отдельные частные факты Ф. т. действительного переменного были открыты ещё в 19 в. (существование рядов непрерывных функций с разрывной суммой, примеры нигде не дифференцируемых непрерывных функций, не интегрируемых функций и т.п.). Однако эти факты воспринимались обычно как "исключения из правил" и не объединялись никакими общими схемами. Лишь в начале 20 в., когда в основу изучения функций были положены методы множеств теории (См. Множеств теория), стала развиваться систематически современная Ф. т. действительного переменного.
Можно различить три направления в Ф. т. действительного переменного.
1) Метрическая Ф. т., где свойства функций изучаются при помощи меры (см. Мера множества) тех множеств, на которых эти свойства имеют место. В метрической Ф. т. с общих точек зрения изучаются интегрирование и дифференцирование функций (см. Интеграл, Дифференциал, Производная), различными способами обобщается понятие сходимости (См. Сходимость) функциональных последовательностей, исследуется строение разрывных функций весьма широкого типа и т.п. Важнейшим классом функций, изучаемым в метрической Ф. т., являются Измеримые функции.
2) Дескриптивная Ф. т., в которой основным объектом изучения является операция предельного перехода (см. Бэра классификация).
3) Конструктивная Ф. т., изучающая вопросы изображения произвольных функций при помощи надлежащих аналитических средств (см. Приближение и интерполирование функций).
Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.
Википедия
Комплексная функция
Комплексная функция — основной объект изучения теории функций комплексной переменной, комплекснозначная функция комплексного аргумента: .
Как и комплекснозначная функция вещественной переменной может быть представлена в виде:
- ,
где и — вещественнозначные функции комплексного аргумента, называемые соответственно вещественной и мнимой частью функции . В отличие от вещественных функций, между компонентами разложения имеется более глубокая связь, например, для того, чтобы функция была дифференцируема в смысле функции комплексной переменной, должны выполняться условия Коши — Римана:
- ;
- .
Примерами аналитических функций комплексной переменной являются: степенная функция, экспонента, гамма-функция, дзета-функция Римана, хребтовая функция и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа , мнимая часть , комплексное сопряжение , модуль и аргумент аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши — Римана.
