основной
принцип геометрической оптики (См.
Геометрическая оптика)
. Простейшая форма Ф. п. - утверждение, что луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по тому пути, по которому время его прохождения меньше, чем по любому из всех др. путей, соединяющих эти точки. Время прохождения светом расстояния
l, заполненного средой с преломления показателем (См.
Преломления показатель)
n, пропорционально оптической длине пути (См.
Оптическая длина пути)
S;
S = 1•
n для однородной среды, а при переменном
n . Поэтому можно сказать, что Ф. п. есть
принцип наименьшей оптической длины пути. В первоначальной формулировке самого П.
Ферма (около 1660) Ф. п. имел смысл наиболее общего закона распространения света, из которого следовали все (к тому времени уже известные) законы геометрической оптики: для однородной среды он приводит к закону прямолинейности светового луча (в соответствии с геометрическим положением о том, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками), а для случая падения луча на границу различных сред из Ф. п. можно получить законы отражения света (См.
Отражение света) и преломления света (См.
Преломление света)
. В более строгой формулировке Ф. п. представляет собой вариационный
принцип, утверждающий, что реальный луч света распространяется от одной точки к другой по линии, по которой время его прохождения экстремально или одинаково по сравнению с временами прохождения по всем др. линиям, соединяющим эти точки. Это означает, что оптическая длина пути луча может быть не только минимальной, но и максимальной либо равной всем остальным возможным путям, соединяющим указанные точки. Примерами минимального пути служат упомянутые распространение света в однородной среде и прохождение светом границы двух сред с разными показателями преломления
n. Все три случая (минимальности, максимальности и стационарности пути) можно проиллюстрировать, анализируя отражение луча света от вогнутого зеркала (
рис.).
К принципу Ферма: действительный путь света соответствует экстремальному времени распространения.
Если зеркало имеет форму
Эллипсоида
вращения, а свет распространяется от одного его фокуса
Р к другому
Q (причём путь без отражения невозможен), то оптическая длина пути луча
PO' + O'Q по свойствам эллипсоида равна всем остальным возможным, например
PO'' +
О'' Q; если на пути между теми же точками свет отражается от зеркала меньшей, чем у эллипсоида, кривизны (
MM)
, реализуется минимальный путь, если же большей (зеркало
NN)
- максимальный. Условие экстремальности оптической длины пути сводится к требованию, чтобы была равна нулю вариация от интеграла
(см.
Вариационное исчисление), где
А и
В - точки, между которыми распространяется свет. Это выражение и представляет собой математическую формулировку Ф. п.
В волновой теории света Ф. п. представляет собой предельный случай Гюйгенса - Френеля принципа (См.
Гюйгенса - Френеля принцип) и применим, когда можно пренебречь дифракцией света (См.
Дифракция света) (когда длина световой волны достаточно мала по сравнению с характерными для задачи размерами): рассматривая лучи как нормали к волновым поверхностям, легко показать, что при всяком распространении света оптической длины их путей будут иметь экстремальные значения. Во всех случаях, когда необходимо учитывать дифракцию, Ф. п. перестаёт быть применимым.
Лит.: Fermat P. de, CEuvres, t. 1-4, P., 1891-1912; Ландсберг Г. С., Оптика, 5 изд., М., 1976 (Общий курс физики); Крауфорд Ф., Волны, М., 1974 (Берклеевский курс физики, т. 3); Борн М., Вольф Э., Основы оптики, пер. с англ., 2 изд., М., 1973.
А. П. Гагарин.
К принципу Ферма: действительный путь света соответствует экстремальному времени распространения.