значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х₀ функция f (x) имеет в x₀ максимум (минимум), если существует окрестность (x₀ + δ, x₀ - δ) этой точки, содержащаяся в области определения f (x), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x₀), ≥ f (x) [соответственно, f (x₀) ≤ f (x)]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x₀) > f (x) [или f (x₀) << f (x)] при х ≠ x₀, то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае - о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В - нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f (x) имела Э. в некоторой точке x₀, необходимо, чтобы она была непрерывна в x₀ и чтобы либо f`(x<sub>0</sub>) = 0 (точка А на рис. 1), либо f`(x₀) не существовала (точка С на рис. 1). Если при этом в некоторой окрестности точки x₀ производная f'(x) слева от x₀ положительна, а справа отрицательна, то f (x) имеет в x₀ максимум; если f'(x) слева от x₀ отрицательна, а справа положительна, то - минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f'(x) не меняет знака при переходе через точку x₀, то функция f (x) не имеет Э. в точке x₀ (точки D, Е и F на рис. 1). Если f (x) в точке x₀ имеет п последовательных производных, причём f'(x₀) = f``(x₀) =...= f ^(n-1) (x₀)=0, a f ⁽ⁿ⁾(x₀)≠0, то при п нечётном f (x) не имеет Э. в точке x₀, а при п чётном имеет минимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x₀) > 0, и максимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x₀) < 0. Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции (См. Наибольшее и наименьшее значения функции).

Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М, на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х₀, y₀) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у) и в самой точке f'_x = f'_y = 0,

Δ = f'' _xx f'' _уу > 0,

то f (x, у) в точке М имеет Э. (максимум при f''_xx < 0 и минимум при f''_xx > 0); Э. в точке М не существует, если Δ < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4).

Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы

Σⁿ_{i, k=1} a_ikΔx_iΔx_k

где a_ik - значение f''x_ix_k в исследуемой точке. См. также Условный экстремум.

Термин "Э." употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении (См. Вариационное исчисление).

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Рис. 1. к ст. Экстремум.

Рис. 2. к ст. Экстремум.

Рис. 3. к ст. Экстремум.

Рис. 4. к ст. Экстремум.

относительный экстремум, экстремум функции f (x₁,..., x_{n + m}) от п + т переменных в предположении, что эти переменные подчинены ещё т уравнениям связи (условиям):

φ_k (x₁,..., x_{n + m}) = 0, 1≤ k ≤ m (*)

(см. Экстремум). Точнее, функция f имеет У. э. в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнениям (*), если её значение в точке М является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями f в точках некоторой окрестности точки М, координаты которых удовлетворяют уравнениям (*). Геометрически в простейшем случае У. э. функции f (x, у) при условии φ(х, у) = 0 является наивысшей или наинизшей (по сравнению с близлежащими точками) точкой линии, лежащей на поверхности z = f (x, у) и проектирующейся на плоскость хОу в кривую φ(х, у) = 0. В точке У. э. линия φ(х, у) = 0 либо имеет особую точку, либо касается соответствующей линии уровня [см. Уровня линии (поверхности)] функции f (x, у). При некоторых дополнительных условиях на уравнения связи (*) разыскание У. э. функции f можно свести к разысканию обычного экстремума функции, выразив x_{1 + 1}.., x_{n + m} из уравнения (*) через x₁,..., x_n и подставив эти выражения в функцию f. Др. метод решения - Лагранжа метод множителей.

Задачи на У. э. возникают во многих вопросах геометрии (например, разыскание прямоугольника наименьшего периметра, имеющего заданную площадь), механики, экономики и т.д.

Многие задачи вариационного исчисления приводят к разысканию экстремумов функционалов при условии, что др. функционалы имеют заданное значение (см., например, Изопериметрические задачи) или же к задаче о разыскании экстремума функционала в классе функций, удовлетворяющих некоторым уравнениям связи, и т.д. Решение таких задач также проводится методом множителей Лагранжа. См. также Линейное программирование. Математическое программирование и лит. при этих статьях.