I
Предика́т (от позднелат. praedicatum- сказанное)
то же, что свойство; в узком смысле - свойство отдельного предмета, например "быть человеком", в широком смысле - свойство пары, тройки, вообще n-ки предметов, например "быть родственником". П. в широком смысле называют также отношениями.
Исторически понятие о П. явилось следствием логического анализа высказываний естественного языка, т. е. выяснения их логической структуры, выяснения того, какой логикой может быть выражен (формализован) смысл этих высказываний. Идея выделения логической структуры речи, в отличие от грамматической, для нужд логической дедукции принадлежит Аристотелю. В аристотелевской и в последующей "традиционной" логике П. понимался в узком смысле как один из двух терминов суждения, а именно тот, в котором нечто говорится о предмете речи - субъекте. Форма сказывания - предикативная связь - сводилась при этом к атрибутивной связи, т. е. выражала "присущность" предмету некоторого признака. Аристотель выделял 4 типа признаков, способных играть роль П.: родовые, видовые, собственные и случайные. Это т. н. предикабилии - типы сказуемых.
Логический анализ фраз естественного языка на том уровне представлений о логической дедукции, который был характерен для аристотелевской (и традиционной) логики, ограничивался, т. о., для выражения смысла высказываний логикой одноместных П. (логикой свойств в узком смысле). Это существенно ослабляло "выразительные возможности" логики и служило препятствием для адекватной формализации тех объективных связей между предметами, которые, будучи мыслимыми в виде отношений (свойств в широком смысле) между соответствующими понятиями, лежат в основе логической правильности умозаключений об отношениях - основных умозаключений в науке. Устранение указанного препятствия и усиление выразительных средств формализма современной логики связано, в частности, с восходящей к работе Г. Фреге "Исчисление понятий" (1879) новой трактовкой П. Главная идея этой трактовки - рассмотрение отношения предикации как частного случая функциональной зависимости. Это обеспечивает более ёмкое, чем аристотелевское, отображение смысловой структуры фраз естественного языка в формализме субъектно-предикатного типа и одновременно дальнейшее развитие самого этого формализма на пути сближения языков логики и математики.
Основой для "функциональной" точки зрения на П. служат в естественных и в искусственных (точных) языках выражения вида повествовательных предложений, содержащие неопределённые термины - неопределённые имена предметов: переменные (параметры) в записи утверждений в математическом языке, например
х + 2 = 4; слова "нечто", "некто", "кто-либо" и пр., играющие в естественном языке роль переменных в выражениях типа: "Некто человек", "Кто-то любит кого-то", "Если кто-либо человек, то он смертен" и т.п. Записав эти выражения некоторым единым способом, например заменяя неопределённые термины пробелами, аналогично тому, как это делается в опросных бланках, "-+ 2 = 4", "-человек", "- любит -", "Если - человек, то - смертен", или же принимая запись с помощью переменных в качестве основной, "x + 2 = 4", "x человек", "
х любит
у", "Если
х человек, то
х смертен", легко заметить нечто общее между ними. Во-первых, наличие неопределённых терминов делает эти и подобные им выражения, вообще говоря, неопределёнными как в смысле того, что в них утверждается, так и в смысле их истинностного значения (См.
Истинностное значение)
; во-вторых, всякое подходящее указание на область значений неопределённых терминов и одновременная квантификация или замена неопределённых терминов их значениями преобразует соответствующие выражения в осмысленные высказывания. В современной логике выражения, имеющие вид повествовательных предложений и содержащие неопределённые термины, получили общее название пропозициональных функций, или, сохраняя традиционный термин, П. Как и числовые функции, П. являются соответствиями. Неопределённые термины играют в них обычную роль аргументов функции, но, в отличие от числовых функций, значениями П. служат высказывания. В общем случае, отвлекаясь от какого-либо определённого языка и сохраняя только функциональную форму записи, П. от
n переменных (от
n неопределенных терминов) выражают формулой
P (
x1,..., xn)
, где
n ≥ 0
. При
n = 0 П. совпадает с высказыванием, при
n = 1 П. будет свойством в узком смысле (1-местным П.), при
n = 2 - свойством "пары" (2-местным П., или бинарным отношением), при
n = 3
- свойством "тройки" (3-местным П., или тернарным отношением) и т.д. Выражения: "
x + 2 = 4",
"х человек", "
х любит y", "
х сын
у и
z" служат соответственно примерами 1-местного, 2-местного и 3-местного П. Они преобразуются в высказывания либо при надлежащей подстановке, например "2 + 2 = 4", "Сократ - человек", "Ксантиппа любит Сократа", "Софрониск - сын Ксантиппы и Сократа", либо при связывании переменных кванторными словами, например "∃
х (
х + 2 = 4)" (существует число, которое в сумме с 2 даёт 4), "∃ (
х - человек)" (существуют люди), "∀x∃y∃z (
х сын
у и
z)>> (каждый является сыном по крайней мере двух родителей) и т.п., имея в виду, что области значений переменных в первом случае - числа, во втором - живые существа, в третьем - люди. (Подробнее о квантификации см.
Квантор.)
Членение предложения на субъект и П., характерное для традиционной логики, вообще говоря, не совпадало с грамматическим членением предложения на подлежащее и сказуемое: для приведения выражений обычной речи к виду силлогистических аргументов требовалось определённое преобразование этих выражений, изменяющее, как правило, форму сказываемости. Трактовка П. как пропозициональных функций, связанная с отождествлением синтаксической роли подлежащих и дополнений на основе их принадлежности к общему семантическому типу объектов из области определения (значений аргументов) пропозициональной функции, явилась дальнейшим отходом в логике от собственно лингвистической точки зрения на П. Тем не менее, в рамках, например, прикладной логики П. естественно рассматривать и как лингвистическое понятие, точнее как лингвистическую конструкцию, несущую "неполное сообщение", которая в чистой логике описывается понятием пропозициональной функции.
В современной теоретико-множественной ("классической") логике принято более абстрактное, чем приведённое выше, истолкование П., основанное на отождествлении высказываний и их истинностных значений, что в рамках этой логики допустимо, хотя и не обязательно. П. можно тогда понимать только как логическую функцию, заданную теоретико-множественно, т. е. как отображение Dn в {И, Л}, где n - число аргументов функции, D - область их значений, Dn- n-кратное прямое произведение этой области, а {И, Л} - множество истинностных значений функции. К примеру, если значения переменной х выражения 2 + 2 = 4 определены в множестве натуральных чисел, то соответствующая функция задана таблицей:
--------------------------------------------------
| x | x + 2 = 4 |
|------------------------------------------------|
| 0 | Л |
| 1 | Л |
| 2 | И |
| 3 | Л |
| ... | ... |
--------------------------------------------------
Выбор той или иной трактовки понятия П. не произволен, в частности он определяется методологической позицией - конструктивистской, интуиционистской или классической. Но при этом речь идёт по существу не о претензии той или иной трактовки на единственно правильное описание некой "единой сущности", именуемой П., а о соглашении употреблять термин "П." в том или ином подходящем к данному случаю его значении. Об исчислении П. см.
Логика предикатов.
Лит.: Марков А. А., О логике конструктивной математики, М., 1972; Новиков П. С., Элементы математической логики, 2 изд., М., 1973; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 197З.
М. М. Новосёлов.
II
Предика́т
1) логическое сказуемое.