УМН'ОЖЕННЫЙ, умноженная, умноженное; умножен, умножена, умножено. прич. страд. прош. вр. от умножить
.

операция образования по двум данным объектам а и b, называемым сомножителями, третьего объекта с, называемого произведением. У. обозначается знаком Х (ввёл англ. математик У. Оутред в 1631) или • (ввёл нем. учёный Г. Лейбниц в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо а × b или а • b пишут ab. У. имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения. У. целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее числам а и b третье число с, равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а, так что ab = а + а +... + а (b слагаемых). Число а называется множимым, b - множителем. У. дробных чисел и определяется равенством (см. Дробь). У. рациональных чисел даёт число, Абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющее знак плюс (+), если оба сомножителя одинакового знака, и знак минус (-), если они разного знака. У. иррациональных чисел (См. Иррациональное число) определяется при помощи У. их рациональных приближений. У. комплексных чисел (См. Комплексные числа), заданных в форме α = а + bi и β = с + di, определяется равенством αβ = ac - bd + (ad + bc) i. При У. комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:

α = r₁ (cosφ₁ + isin φ₁),

β = r₂ (cosφ₂ + isin φ₂),

их модули перемножаются, а аргументы складываются:

αβ = r₁r₂{cos (φ₁ + φ₂) + i sin ((φ₁ + φ₂)}.

У. чисел однозначно и обладает следующими свойствами:

1) ab = ba (коммутативность, переместительный закон);

2) a (bc) = (ab) c (ассоциативность, сочетательный закон);

3) a (b + c) = ab + ac (дистрибутивность, распределительный закон). При этом всегда а ․0 = 0; a․1 = а. Указанные свойства лежат в основе обычной техники У. многозначных чисел.

Дальнейшее обобщение понятия У. связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Например, комплексному числу r (cosφ + i sin φ) соответствует оператор растяжения всех векторов в r раз и поворота их на угол φ вокруг начала координат. При этом У. комплексных чисел отвечает У. соответствующих операторов, т. е. результатом У. будет оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение У. операторов переносится и на другие виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (например, линейные преобразования). Это приводит к операциям У. матриц, кватернионов, рассматриваемых как операторы поворота и растяжения в трёхмерном пространстве, ядер интегральных операторов и т.д. При таких обобщениях могут оказаться невыполненными некоторые из перечисленных выше свойств У., чаще всего - свойство коммутативности (некоммутативная алгебра). Изучение общих свойств операции У. входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.

1. математическое действие, посредством которого из двух чисел (или величин) полу чается новое число (или величина), которое (для целых чисел) содержит слагаемым первое число столько раз, сколько единиц во втором.

2. см. МНОЖИТЬ
, -ся.

ПРИУМНОЖ'ЕНИЕ, приумноженияя, мн. нет, ср. Действие по гл. приумножить
-приумножать
.

ПРИУМН'ОЖЕННЫЙ, приумноженная, приумноженное; приумножен, приумножена, приумножено. прич. страд. прош. вр. от приумножить
.

УМНОЖ'ЕНИЕ, умножения, мн. нет, ср.

1. Действие по гл. умножить
- умножать и состояние по гл. умножиться
- умножаться. Умножение трех на два. Умножение доходов.

2. Арифметическое действие, повторение данного числа в качестве слагаемого столько раз, сколько единиц находится в другом данном числе (мат.). Таблица умножения. Умножение целых чисел.